Question

Somando-se os números -4,8-16,32...,8192 temos como resultado

Answer 1

Se pararmos para analisar, temos uma progressão geométrica, cuja razão é -2.

q = (a_n) / (a_n-1) = 8 / -4 = -2

Primeiro vamos encontrar o número de termos dessa pg:

a_n = a_1*q^n-1

8192 = -4*-2^n-1

-2^n-1 = 8192 / -4

-2^n-1 = -2048

-2^n-1 = -2^11

(n-1) = 11

n = 11+1

n = 12

Agora, calculamos a soma:

S_12 = a_1(q^n-1) / q-1

S_12 = -4(-2^12-1) / -2-1

S_12 = -4(4096-1) / -3

S_12 = -4(4095) / -3

S_12 = -16380 / -3

S_12 = 5460

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Camilavasco, que a resolução é simples.

Pede-se a soma da seguinte sequência:

(-4; 8; -16; 32; ...; 8.192)

Agora veja: o que temos aí em cima é uma PG, cujo primeiro termo (a₁) é igual a "-4" e cujo último termo (an) é igual a "8.192" e cuja razão (q) é igual a "-2", pois: 32/-16 = 8/-4 = - 2.

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pela fórmula do termo geral de uma PG poderemos encontrar o número de termos. A fórmula do termo geral é esta:

an = a₁*qⁿ⁻¹

Na fórmula acima "an" é o termo que se quer encontrar. Como já sabemos que o último termo "an" é igual a "8.192" e queremos encontrar o número de termos em função disso, então substituiremos "an" por "8.192". Por sua vez, substituiremos "a₁" por "-4", que é o valor do primeiro termo. E, finalmente, substituiremos "q" por "-2", que é a razão da PG.
Assim, fazendo essas substituições, teremos;

8.192 = -4*[(-2)ⁿ⁻¹] ----- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos da seguinte forma:

- 8.192 = 4*[(-2)ⁿ⁻¹] ---- vamos apenas inverter, ficando:
4*[(-2)ⁿ⁻¹] = - 8.192 -----  isolando (-2)ⁿ⁻¹ teremos:
(-2)ⁿ⁻¹ = - 8.192/4
(-2)ⁿ⁻¹ = - 2.048 ----- veja que "-2.048" = (-2)¹¹. Assim, substituindo-se, teremos:

(-2)ⁿ⁻¹ = (-2)¹¹ ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Logo:

n - 1 = 11
n = 11+1
n = 12 <--- Este é o número de termos que a sequência dada terá.

ii) Agora vamos para a soma dos termos de uma PG, cuja fórmula é dada por:

Sn = a₁*[qⁿ - 1]/(q-1)

Na fórmula acima "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos de uma PG. Como já sabemos que a PG terá 12 termos, então substituiremos "Sn" por "S₁₂". Por sua vez, substituiremos "a₁" por "-4", que é o valor do primeiro termo da PG. Por seu turno, substituiremos "q" por "-2", que é o valor da razão da PG. E, finalmente, substituiremos "n" por "12", que é o número de termos da PG, conforme vimos no item anterior.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

S₁₂ = -4*[(-2)¹² - 1]/(-2-1) ---- desenvolvendo, teremos:
S₁₂ = -4*[4.096 - 1]/-3
S₁₂ = -4*[4.095]/-3 ---- veja: na divisão, menos com menos dá mais. Logo, ficaremos da seguinte forma:

S₁₂ = 4*[4.095]/3 ---- ou apenas:
S₁₂ = 4*4.095/3 ---- efetuando este produto, teremos:
S₁₂ = 16.380/3 ---- veja que esta divisão dá exatamente "5.460". Logo:
 
S₁₂ = 5.460 <--- Pronto. Esta é a resposta. Esta é a soma pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.