Question

Preciso de ajuda para resolver este tipo de equação: $\sqrt{8^{x-1} } \sqrt[x+1]{4^{2x-3} } = \sqrt[6]{2^{5x+3} }$ , obrigada desde já!

Answer 1

Olá Stephanie,

basta usar usar as propriedades da exponenciação e da radiciação:

$\sqrt{8^{x-1} }* \sqrt[x+1]{4^{2x-3} }= \sqrt[6]{2^{5x+3} }\\\\ \sqrt{(2^3)^{x-1} }* \sqrt[x+1]{(2^2)^{2x-3} }=2^{ \tfrac{5x+3}{6} }\\\\ \sqrt{2^{3x-3} }* \sqrt[x+1]{2^{4x-6} }=2^{ \tfrac{5x+3}{6} }\\\\ 2^{ \tfrac{3x-3}{2} }*2^{ \tfrac{4x-6}{x+1} }=2^{ \tfrac{5x+3}{6} }\\\\ \not2^{ \tfrac{3x-3}{2}+ \tfrac{4x-6}{x+1} }=\not2^{ \tfrac{5x+3}{6} }\\\\ \dfrac{3x-3}{2}+ \dfrac{4x-6}{x+1}= \dfrac{5x+3}{6}$

MMC de 2, x+1 e 6 = 6x+6:

$\dfrac{(3x+3)*(3x-3)+6*(4x-6)}{\not6x+\not6}= \dfrac{(x+1)*(5x+3)}{\not6x+\not6}\\\\\\ 9 x^{2} -9+24x-36=5 x^{2} +3x+5x+3\\ 9 x^{2} -5 x^{2} +24x-8x-45-3=0\\ 4 x^{2}+16x-48=0~\to~divida~por~4\\\\ x^{2} +4x-12=0$

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=4^2-4*1*(-12)\\ \Delta=16+48\\ \Delta=64$

$x= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}\\\\\\ x= \dfrac{-4\pm \sqrt{64} }{2*1}= \dfrac{-4\pm8}{2}\begin{cases}x'= \dfrac{-4+8}{2}\to~x'= \dfrac{4}{2}\to~x''=2\\\\ x''= \dfrac{-4-8}{2}\to~x''= \dfrac{-12}{~~2}\to~x''=-6 \end{cases}$

Como x encontra-se no índice de uma das raízes, e o índice não pode ser negativo, temos que somente x=2, atende à equação exponencial acima, portanto:

$\boxed{S=\{2\}}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))