Question

Determine a soluçao da equação:Log2 (x-2) + log2 (x-3) = 1 + log2 (2x-7)

Answer 1

Log2 (x-2) + log2 (x-3) = 1 + log2 (2x-7)=> colocando todo na mesma base, que seria a base 2, fica:
Log2 (x-2) + log2 (x-3) = log2(2)+log2 (2x-7). como todos tem a mesma base, vc pode multiplicar os logaritimandos:. (x-2).(x-3)=2(2x-7)
e ai é Bhaskara, fica:. x²-5x+6=4x-14
x²-9x+20
Δ=(-9)²-4.1.20=1
X1= -(-9)+1/2=5
x2= -(-9)-1/2=4

Answer 2

Olá,

na equação logarítmica

$\boxed{\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1+\log_2(2x-7)}$

vamos inicialmente impor a condição para que os logaritmos acima, existam (lembre-se que a incógnita encontra-se no logaritmando, x>0):

$\text{C.E.}\begin{cases}x-2\ \textgreater \ 0\\ x\ \textgreater \ 2\\\\ x-3\ \textgreater \ 0\\ x\ \textgreater \ 3\\\\ 2x-7\ \textgreater \ 0\\ 2x\ \textgreater \ 7\\ x\ \textgreater \ 7/2\end{cases}$

Feito isto, vamos aplicar a 1a propriedade de log, a do produto:

$\log_b(a)+\log_b(c)=\log_b[(a)\cdot(c)]$

$\log_2[(x-2)\cdot(x-3)]=1+\log_2(2x-7)\\ \log_2(x^2-5x+6)=1+\log_2(2x-7)\\ \log_2(x^2-5x+6)-\log_2(2x-7)=1$

Agora, aplicamos a 2a propriedade de logaritmos, a do quociente:

$\log_b(a)-\log_b(c)=\log_b\left( \dfrac{a}{c}\right)$

$\log_2\left( \dfrac{x^2-5x+6}{2x-7} \right)=1$

Por fim, aplique a definição de logaritmos, então a equação tornar-se-a em:

$\dfrac{x^2-5x+6}{2x-7}=2^1\\\\\\ \dfrac{x^2-5x+6}{2x-7}=2\\\\ x^2-5x+6=2\cdot(2x-7)\\ x^2-5x+6=4x-14\\ x^2-9x+20=0\\\\ Resolvendo~esta~eq.,~encontramos..\\\\ x_1=4~~e~~x_2=5$

Note que as raízes da equação do 2° grau, atendem à condição de existência, logo:

$\Large\boxed{\text{S}=\{4,5\}}$

Tenha ótimos estudos ;P