Question

A soma das raízes da equação 2^2x+1 - 2^x+4=2^x+3 - 64

Answer 1

Olá Bizi,

dada a equação exponencial,

$2^{2x+1}-2^{x+4}=2^{x+3}-64$

use as propriedades da exponenciação:

$2^{2x}*2^1-2^x*2^4=2^x*2^3-64\\ (2^x)^2*2-2^x*16=2^x*8-64\\ 2*(2^x)^2-16*2^x=8*2^x-64\\ 2*(2^x)^2-16*2^x-8*2^x+64=0\\ 2*(2^x)^2-24*2^x+64=0\\\\ fazendo~2^x=k,~teremos:\\\\ 2*(k)^2-24*(k)+64=0\\ 2k^2-24k+64=0~\to~divida~por~2:\\ k^2-12k+32=0$

$k= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\\\\\ k= \dfrac{-(-12)\pm \sqrt{(-12)^2-4*1*32} }{2*1}~\to~\dfrac{12\pm \sqrt{144-128} }{2}\\\\\\ ~\to~k= \dfrac{12\pm \sqrt{16} }{2}~\to~k= \dfrac{12\pm4}{2}\begin{cases}k'= \dfrac{12-4}{2}= \dfrac{8}{2}=4\\\\ k''= \dfrac{12+4}{2} = \dfrac{16}{2}=8 \end{cases}$

Retomando a variável original,

$2^x=k$

para k=4:

$2^x=4\\ ~2^x=2^2\\ \not2^x=\not2^2\\\\ x'=2$


para k=8:

$2^x=8\\ 2^x=2^3\\ \not2^x=\not2^3\\\\ x''=3$

Portanto, a soma das raízes é:

$S=x'+x''\\ S=2+3\\\\ \boxed{S=5}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))