Question

Derivadas!!! me ajudem por favor urgente...
Encontre o ponto (x,y) onde a tangente á curva dada seja horizontal, o ângulo da tangente com o eixo dos x seja 60°, que esse ângulo seja - 30°escreva a equação da reta tangente e faça os graficos

1) Y= |x|³

Answer 1

1)  $y=|x|^3$

$y=\left\{\!\begin{array}{rl} x^3,&\text{se}~x\ge 0\\ (-x)^3,&\text{se}~x<0 \end{array}\right.\\\\\\ y=\left\{\!\begin{array}{rl} x^3,&\text{se}~x\ge 0\\ -x^3,&\text{se}~x<0 \end{array}\right.$


Comumente as funções que envolvem módulos têm alguma peculiaridade na derivada, quando tentamos computá-la no ponto em que a sentença que define a função muda.


Para valores de x maiores ou menores do que zero, a derivada de y está bem definida:

$y'=\left\{\! \begin{array}{rl} 3x^2,&\text{se}~x>0\\ -3x^2,&\text{se}~x<0 \end{array} \right.$


Vejamos o que ocorre quando tentamos calcular $y'$ quando $x=0.$ Por definição,

$\displaystyle y'\big|_{x=0}=\lim_{x\to 0}\dfrac{|x|^3-|0|^3}{x-0}\\\\\\ y'\big|_{x=0}=\lim_{x\to 0}\dfrac{|x|^3}{x}\qquad(i)$


Temos que verificar se o limite (i) existe. Computemos as derivadas laterais:

•   à esquerda de $\mathsf{x=0:\qquad(x<0)}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{|x|^3}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0^-}\dfrac{-x^3}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0^-}(-x^2)\\\\\\ =-0^2\\\\ =0\qquad(ii)$


•   à direita de $\mathsf{x=0:\qquad(x>0)}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{|x|^3}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^3}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0^+} x^2\\\\\\=0^2\\\\ =0\qquad(iii)$


Por (ii) e (iii), vemos que as derivadas laterais são iguais. Logo, o limite (i) que define a derivada de y em $\mathsf{x=0}$ existe e é igual a 0:}

$y'\big|_{x=0}=0$


Por fim, podemos expressar a derivada de y de forma compacta:

$y'=\left\{\! \begin{array}{rl} 3x^2,&\text{se}~x\ge 0\\ -3x^2,&\text{se}~x<0 \end{array} \right.\qquad(iv)$


Agora, vamos encontrar retas tangentes pedidas:

O coeficiente angular é a derivada no ponto, e tem o valor da tangente do ângulo de inclinação.

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•   Pontos onde a reta tangente é horizontal:

(inclinação 0° ou 180°)

$y'\big|_{x=x_P}=tg\,0^\circ=tg\,180^\circ=0\\\\\\ y'\big|_{x=x_P}=0\\\\\\ \pm 3x_{_P}^2=0\\\\ x_{_P}=0$


•   Equação da reta tangente:

$y-y_{_P}=y'\big|_{x=x_P}\cdot (x-x_{_P})~\qquad\text{onde }x_{_P}=0\\\\\\ y-|0|^3=0\cdot (x-0)\\\\y-0=0$

$\fbox{ y=0 }$   <———   a reta tangente é o próprio eixo x.

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•   Pontos onde a reta tangente tem inclinação 60°:

$y'\big|_{x=x_P}=tg\,60^\circ\\\\\\ y'\big|_{x=x_P}=\sqrt{3}\\\\\\ \begin{array}{lcl} 3x_{_P}^2=\sqrt{3}~~(x\ge 0)&~\text{ ou }&-3x_{_P}^2=\sqrt{3}~~(x<0)\\\\ x_{_P}^2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}&~\text{ ou }&x_{_P}^2=\dfrac{\sqrt{3}}{-3}~~\text{(n\~ao serve)} \end{array}$


$x_{_P}^2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\\\\ x_{_P}^2=\dfrac{3^{\frac{1}{2}}}{3}\\\\\\ x_{_P}^2=3^{\frac{1}{2}-1}\\\\ x_{_P}^2=3^{-\frac{1}{2}}\\\\ x_{_P}=\sqrt{3^{-\frac{1}{2}}}\qquad\text{(pois, }x\ge 0)\\\\ x_{_P}=(3^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\\\\ x_{_P}=3^{-\frac{1}{4}}$


Equação da reta tangente:

$y-3^{-\frac{3}{4}}=\sqrt{3}\,x-3^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}\\\\ y-3^{-\frac{3}{4}}=\sqrt{3}\,x-3^{\frac{1}{4}}$

$\fbox{ y=\sqrt{3}\,x-3^{\frac{1}{4}}+3^{-\frac{3}{4}} }$    <———    equação da reta tangente

no ponto $(3^{-\frac{1}{4}},\,3^{-\frac{3}{4}}).$

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•   Pontos onde a reta tangente tem inclinação – 30°:

$y'\big|_{x=x_P}=tg(-30^\circ)\\\\\\ y'\big|_{x=x_P}=-\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\\\\\ \begin{array}{lcl} 3x_{_P}^2=-\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}~~(x\ge 0)&~\text{ ou }~&-3x_{_P}^2=-\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}~~(x<0)\\\\ x_{_P}^2=-\,\dfrac{1}{3\sqrt{3}}~~\text{(n\~ao serve)}&~\text{ ou }~&x_{_P}^2=-\,\dfrac{1}{-3\sqrt{3}} \end{array}\\\\\\ x_{_P}^2=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$


$x_{_P}^2=\dfrac{1}{3\cdot 3^{\frac{1}{2}}}\\\\\\ x_{_P}^2=\dfrac{1}{3^{1+\frac{1}{2}}}\\\\\\ x_{_P}^2=\dfrac{1}{3^{\frac{3}{2}}}\\\\\\ x_{_P}^2=3^{-\frac{3}{2}}\\\\ x_{_P}=-\sqrt{3^{-\frac{3}{2}}}\qquad(\text{pois }x<0)\\\\ x_{_P}=-(3^{-\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}\\\\ x_{_P}=-3^{-\frac{3}{4}}$


Equação da reta tangente:

$y-y_{_P}=y'\big|_{x=x_P}\cdot (x-x_{_P})~\qquad(\text{onde }x_{_P}=3^{-\frac{1}{4}})\\\\\\ y-\big|\!-3^{-\frac{3}{4}}\big|^3=-\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot \big(x-(-3^{-\frac{3}{4}})\big)\\\\\\ y-(3^{-\frac{3}{4}})^3=-\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot (x+3^{-\frac{3}{4}})\\\\\\ y-3^{-\frac{9}{4}}=-\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot 3^{-\frac{3}{4}}$


$y-3^{-\frac{9}{4}}=-\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,x-3^{-\frac{1}{2}}\cdot 3^{-\frac{3}{4}}\\\\\\ y-3^{-\frac{9}{4}}=-\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,x-3^{-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}}\\\\\\ y-3^{-\frac{9}{4}}=-\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,x-3^{-\frac{5}{4}}$


$\fbox{ y=-\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,x-3^{-\frac{5}{4}}+3^{-\frac{9}{4}} }$    <———     equação da reta tangente

no ponto $(-3^{-\frac{3}{4}},\,3^{\frac{9}{4}}).$

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A representação do gráfico da função e das retas tangentes estão em anexo.


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Bons estudos! :-)


Tags: reta tangente derivada gráfico função esboço ângulo cálculo diferencial