Question

√2x+7=4-√2-x ( obs: o 2x+7 está dentro da raiz e o 2-x também está)

Help? Preciso detalhadamente da questão

Answer 1

Vamos lá.

Veja,Gabriel, que a resolução é simples.
Pede-se para resolver a seguinte equação irracional:

√(2x+7) = 4 - √(2-x)  ---- para eliminar o radical do 1º membro, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando assim:

[√(2x+7)]² = [4 - √(2-x)]² ---- desenvolvendo, teremos:
2x+7 = 16 - 2*4*√(2-x) + 2-x
2x + 7 = 16 - 8√(2-x) + 2 - x ---- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, ficaremos:

2x + 7 = 18 - x - 8√(2-x) ---- agora vamos passar "-8√(2-x) para o 1º membro e passar todo o "2x+7" para o 2º, com o que ficaremos assim:

8√(2-x) = 18 - x - 2x - 7 ---- reduzindo os termos semelhantes do 2º membro, temos:

8√(2-x) = 11 - 3x ----- agora, para eliminar o radical do 1º membro vamos, novamente,elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

[8√(2-x)]² = (11-3x)² ----- desenvolvendo, ficaremos:
64*(2-x) = 121 - 2*11*3x + 9x² --- efetuando os produtos indicados, temos:
128 - 64x = 121 - 66x + 9x² ----- passando o 1º membro para o 2º, temos:
0 = 121 - 66x + 9x² - 128 + 64x ---- reduzindo os termos semelhantes:
0 = 9x² - 2x - 7 ------ vamos apenas inverter, ficando:
9x² - 2x - 7 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' =  - 7/9
x'' = 1

Agora veja: em princípio, "x' poderá ser "-7/9" ou "1". Contudo, quando se trabalha com equações irracionais, só poderemos afirmar isso se tanto o "-7/9" como o "1" verificarem a igualdade original. Então vamos substituir o "x' por "-7/9" e depois por "1" e ver se a igualdade original [√(2x+7) = 4 - √(2-x)] é verificada. Vamos ver.

i) Para x = - 7/9 na igualdade original [√(2x+7) = 4 - √(2-x)], teremos:

√(2*(-7/9) + 7)) = 4 - √(2-(-7/9)) ---- desenvolvendo, teremos:
√(-14/9 + 7) = 4 - √(2+7/9) ----- mmc dentro de cada raiz = 9. Logo:
√(-14+9*7)/9) = 4 - √(9*2+7)/9))
√(-14+63)/9 = 4 - √(18+7)/9)
√(49/9) = 4 - (25/9) ---- veja que √(49/9) = 7/3; e √(25/9) = 5/3. Assim:
7/3 = 4 - 5/3 ----- mmc, no 2º membro = 3. Logo:
7/3 = (3*4 - 5)/3
7/3 = (12-5)/3
7/3 = 7/3 <---- Como a igualdade original se verificou, então "-7/9" é uma raiz válida.

ii) Para x = 1 na igualdade original [√(2x+7) = 4 - √(2-x)], teremos:

√(2*1+7) = 4 - √(2-1)
√(2+7) = 4 - √(1)
√(9) = 4 - √(1) ----- como √(9) = 3; e √(1) = 1, teremos:
3 = 4 - 1
3 = 3 <---- Como a igualdade original se verificou, então "'1" é também uma raiz válida.

iii) Dessa forma, como ambas as raízes verificaram a igualdade original, então teremos que:

x = - 7/9, ou x = 1 <---- Esta é a resposta.

E, se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma:

S = {-7/9; 1} .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.