Question

resolva a equação 2 sen2 x - 5sen x+3 =0

Answer 1

O exercício solicita a resolução da seguinte equação trigonométrica:

$\mathsf{2\,sen^2\,x-5\,sen\,x+3=0}$

A equação acima será solucionada com o auxílio das técnicas de fatoração. À vista disso, temos:

$\mathsf{\qquad\quad\ \ 2\,sen^2\,x-5\,sen\,x+3=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2\,sen^2\,x-2\,sen\,x-3\,sen\,x+3=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2\,sen\ x\big(sen\,x-1\big)-3\big(sen\,x-1\big)=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad \big(sen\,x-1\big)\big(2\,sen\,x-3\big)=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad sen\,x-1=0\quad\ \ ou\quad\ \ 2\,sen\,x-3=0}\\\\ \mathsf{\iff\quad sen\,x=1\quad\ \ ou\quad\ \ 2\,sen\,x=3}\\\\ \mathsf{\iff\quad sen\,x=1\quad\ \ ou\quad\ \ sen\,x=\dfrac{3}{2}>1}$

Perceba que sen x jamais será maior que 1, com isso nos resta apenas descobrir quais são todos os valores reais de x que satisfazem sen x = 1. Logo:

$\mathsf{\qquad\quad\ \ sen\,x=1}\\\\ \mathsf{\iff\quad sen\,x=sen\, \dfrac{\pi}{2}\qquad(i)}$

Lembrando da equação trigonométrica fundamental sen x = sen y, obtém-se:

$\mathsf{sen\,x=sen\,y}\ \ \iff\ \ \begin{cases}\mathsf{x=y+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}\\ \mathsf{ou}\\ \mathsf{x=\pi-y+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}\end{cases}$

Sendo assim, a equação trigonométrica (i) equivaler-se-á:

$\mathsf{sen\,x=sen\,\dfrac{\pi}{2}}\ \ \iff\ \ \begin{cases}\mathsf{x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}\\ \mathsf{ou} \\ \mathsf{x=\pi-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}}\end{cases}$

Pelo fato de π/2 + 2kπ = π - π/2 + 2kπ chega-se à resposta final:

$\mathsf{S=\Big\{x\,\in\,\mathbb{R}:x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\Big\}.}$

Dog10Niu, um grande abraço!