Question

Um corpo se move em linha reta tal que forma após t minutos a distancia percorrida é de
D (t) = 10t + 5 -5 metros. Qual a velocidade desse corpo no instante após 4 minutos?
t−1

Answer 1

o problema nos forneceu a equação de espaço em função do tempo t D(t):
$\displaystyle D(t)=10t+\frac{5}{t-1}-5$

Velocidade é a taxa de variação do espaço em função do tempo:
$\displaystyle V(t)=\frac{dD}{dt}$
assim como o espaço é a área do gráfico da velocidade:
$\displaystyle D(t)=\int\,V(t)\,dt=\int\frac{dD}{dt}\,dt=D(t)$
(Pois a integral de uma derivada é a primitiva da função derivada)

Desse modo, para encontrarmos a velocidade basta derivar a função:
$\displaystyle \frac{dD}{dt}=\frac{d}{dt}\left(10t+\frac{5}{t-1}-5\right)=\frac{d}{dt}10t+\frac{d}{dt}\frac{5}{t-1}-\frac{d}{dt}5\implies \\\\ \frac{d}{dt}10t=10\\\\ \frac{d}{dt}\frac{5}{t-1}=5\cdot\frac{d}{dt}(t-1)^{-1}=5\cdot \left( \frac{d}{du}u^{-1}\cdot \frac{d}{dt}t-1\right)=5\cdot (-u^{-2}\cdot 1)=\\\\-\frac{5}{u^2}=\boxed{-\frac{5}{(t-1)^2}}\\\\\frac{d}{dt}-10=0\\\\\\ \boxed{\frac{dD}{dt}=10-\frac{5}{(t-1)^2}}$