Question

(UFPR - Adaptada) Um cone circular reto está inscrito em uma esfera de raio
2 cm. A distância do centro da esfera ao centro da base do cone, como mostra a figura a seguir, está indicada por x.
Com base nessas informações, e tendo em vista que o volume da esfera é quatro vezes o volume do cone, o valor de x é:
a.√3+1
b.√5
c.2
d.√5-1
e.2√5-1

Answer 1

O valor de X tem que ser, obrigatoriamente, menor que 2, pois um cateto, no triângulo retângulo, não pode ser maior que a hipotenusa... Logo, o único valor menor do que 2 entre as opções é:
A)√3+1=1,7+1=2,7
B)2,23
C)2
D)1,23
E)3,46

a resposta é a letra D

Answer 2

O valor de x é -1 + √5.

O volume da esfera de raio r é definido como v = 4πr³/3.

Já o volume do cone de raio R e altura h é definido como v = πR².h/3.

Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que aparece na figura:

2² = x² + R²

4 = x² + R².

Além disso, temos a informação de que o volume da esfera é igual a quatro vezes o volume do cone, ou seja:

4πr³/3 = 4.πR².h/3

r³ = R².h.

Observe que a altura do cone é igual a x + 2 e que o raio da esfera é igual a 2. Logo:

2³ = R²(x + 2)

8 = R²(x + 2).

Da equação x² + R² = 4, podemos dizer que R² = 4 - x². Assim:

8 = (4 - x²)(x + 2)

8 = 4x + 8 - x³ - 2x²

x³ + 2x² - 4x = 0.

Colocando x em evidência:

x(x² + 2x - 4) = 0

x = 0 ou x² + 2x - 4 = 0.

Resolvendo a equação do segundo grau x² + 2x - 4 = 0, obtemos dois valores para x: -1 - √5 e -1 + √5.

Como x é uma medida, então o seu valor não pode ser zero nem um número negativo.

Portanto, podemos afirmar que o valor de x é -1 + √5.

Alternativa correta: letra d).

Para mais informações sobre esfera: https://brainly.com.br/tarefa/12441334