Question

por favor eu preciso muito de ajuda nessa questão <3 

Answer 1

A única informação que a questão dá é que $sen(2 \alpha )=\frac{3}{5}$. Contudo, a relação fundamental:

$sen^{2}\beta+cos^{2}\beta=1$ 

é válida para qualquer ângulo $\beta$.

Dessa forma, temos mais uma informação importante: 

$sen^{2}(2\alpha)+cos^{2}(2\alpha)=1$

E dessa última relação, podemos substituir:

$sen^{2}(2\alpha)=\frac{9}{25}$. Ficando com:


$cos^{2}(2\alpha)=1 -\frac{9}{25} \\ cos^{2}(2\alpha)=\frac{16}{25}\\cos(2\alpha)=\sqrt{\frac{16}{25}}\\cos(2\alpha)=\frac{4}{5}$

Guardando esse resultado, temos também a seguinte relação (adição de arcos):

$cos(2\alpha)=cos^{2}\alpha-sen^{2}\alpha \\e\\sen(2\alpha)=2(sen\alpha)(cos\alpha)$

isolando o $sen\alpha$ da segunda relação e inserindo na primeira, temos:

$cos(2\alpha)=cos^{2}\alpha-(\frac{sen(2\alpha)}{2cos\alpha})^{2}$

Substituindo os valores numéricos encontrados logo no início da resolução:

$\frac{4}{5}=cos^{2}\alpha-(\frac{3}{10cos\alpha})^{2}\\\\\frac{4}{5}=cos^{2}\alpha-\frac{9}{100cos\alpha}$

multiplicando toda a equação por $cos^{2}\alpha$:

$\frac{4cos^{2}\alpha}{5}=cos^{4}\alpha}-\frac{9}{100}$

igualando a zero:

$cos^{4}\alpha}-\frac{4cos^{2}\alpha}{5}-\frac{9}{100}=0$

usando uma incógnita auxiliar, podemos dizer que: $cos^{2}\alpha=x$. Assim, teremos a seguinte equação do segundo grau:

$x^{2}-\frac{4}{5}x-\frac{9}{100}$

resolvendo por Bháskara, obtemos:

x' = 9/10 e x''= - 1/10

Como $cos^{2}\alpha=x$, então:

$cos^{2}\alpha=\frac{9}{10} \\ ou\\cos^{2}\alpha=-\frac{1}{10}$

A última equação já está descartada, pois não existe raiz de número negativo. Ficamos com a primeira:

$cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{9}{10}}$

Extraindo as raízes e racionalizando:

$cos\alpha=\pm\frac{3\sqrt{10}}{10}}$

Como só podemos ter um valor, iremos considerar o resultado positivo, pois o ângulo está no primeiro quadrante.

Pronto! Encontramos o valor do cosseno. Para encontrar o seno, use a relação fundamental. E, finalmente, divida o seno encontrado pelo cosseno e encontre o tangente.

Espero que tenha entendido. É muito fácil!