Question

(50 PONTOS) Como resolver passo a passo essa equação exponencial em ℝ?

$\mathsf{2^{t^2+t}+2^{t+2}-2^{t^2}=64}$
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Answer 1

 Olá Lukyo, bom dia!

$\textsf{Desenvolvendo,}\\\\\mathsf{2^{t^2 + t}+2^{t+2}-2^{t^2}=64} \\\\ \mathsf{2^{t^2 + t} + 2^{t + 2} = 2^{t^2} + 64} \\\\ \mathsf{2^t \cdot (2^{t^2} + 2^2) = 2^{t^2} + 64}$

$\textsf{Tome} \ \mathsf{2^{t^2} = p \ e \ 2^{t} = q. \ Desse \ modo, \ ficamos \ com:} \\\\ \mathsf{q \cdot (p + 4) = p + 64}$

$\\ \mathsf{p \cdot q + 4q = p + 64} \\\\ \mathsf{pq - p = 64 - 4q} \\\\ \mathsf{p \cdot (q - 1) = 4 \cdot (16 - q)}$
 
$\mathsf{Mas, note \ que \ p, \ q > 0 (pot\^encia \ de \ dois).} \ \textsf{Desse modo, temos que:} \\\\ \mathsf{(q - 1) > 0 \ e \ (16 - q) < 0}$
 
  Resolvendo o sistema formado pelas desigualdades acima, tiramos que:

$\\ \begin{cases} \mathsf{q - 1 > 0 \qquad \qquad i)} \\ \mathsf{16 - q < 0 \qquad \ \quad ii)} \end{cases} \\\\\\ \textsf{i)} \\\\ \mathsf{q - 1 > 0} \\ \mathsf{q > 1} \\\\ \mathsf{ii)} \\\\ \mathsf{16 - q < 0} \\ \mathsf{q > 16}$
 
 $\mathsf{Isto \ \acute{e}, \ \boxed{\mathsf{1 < q < 16}}}.$

 Vale acrescentar que: caso "q" não pertença ao intervalo encontrado, então o valor de "p" será menor que zero; todavia, isto é um ABSURDO, pois vimos que p > 0.
 
 Por conseguinte,

$\\ \mathsf{1 < q < 16} \\\\ \mathsf{1 < 2^t < 16} \\\\ \mathsf{2^0 < 2^t < 2^4} \\\\ \boxed{\mathsf{0 < t < 4}}$
 

 Voltemos lá para o início...

$\\ \mathsf{2^{t^2 + t} + 2^{t + 2} - 2^{t^2} = 64} \\\\ \mathsf{2^{t^2 + t} - 2^{t^2} = 2^6 - 2^{t + 2}}$
 
 Lukyo, no intervalo que compreende "t" (muito pequeno se comparado com todos os reais), é interessante igualarmos os expoentes (dos termos do 1º membro da equação com seus respectivos termos do 2º membro) de modo que eles formem um sistema. Veja:

$\\ \begin{cases} \mathsf{t^2 + t = 6} \\ \mathsf{t^2 = t + 2} \end{cases}$
 

Logo, temos que:

$\\ \begin{cases} \mathsf{t^2 + t = 6} \\ \mathsf{- t^2 + t = - 2} \end{cases} \\ -------- \\ \mathsf{t^2 - t^2 + t + t = 6 - 2} \\\\ \mathsf{2t = 4} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{t = 2}}}$