Question

dados os vetores u=(3,2), v=(2,4) e w=(1,3), exprimir w como a combinação linear de u e v.

Answer 1

Olá!

Temos:

u = (3,2) = 3i+2j

v = (2,4) = 2i+4j

w = (1,3) = i+3j

Por definição, queremos α e β reais tais que:

w = αu+βv 

Substituindo os vetores:

(1,3) = α.(3,2)+β.(2,4) 

Aplicando a propriedade, α.(x1,x2) = (αx1,αx2), vem:

(1,3) = (3α,2α)+(2β,4β) 

Aplicando a propriedade, (x1,x2)+(x3,x4) = (x1+x3,x2+x4), teremos:

(1,3) = (3α+2β,2α+4β) 

Aplicando a igualdade de vetores:

{3α+2β = 1 (I)

{2α+4β = 3 (II)

Multiplicando (I) por -2, vem:

{-6α-4β = -2 (III)

{2α+4β = 3 (II)

Somando as duas equações:

-4α = 1 => α = 1/-4 => α = -1/4

Substituindo α em (II), vem:

2α+4β = 3 => 2.(-1/4)+4β = 3 => 4β = 3 + 1/2 = 6/2+1/2 = 7/2 =>

=> 4β=7/2 => 8β=7 => β=7/8

∴ w = -1/4.u+7/8.v

Espero ter ajudado! :)