Question

Considere a equação:

$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{(x-1)(x-2)}$

a) Substitua x pelo número 3. Faça os cálculos e diga-se o primeiro membro fica igual ao segundo.

b) O número 3 é a solução dessa equação?

c) Substitua x pelo número 2. O que acontece?

d) Verifique se o número 2 pode ser solução dessa equação.

e) Resolva a equação e dê seu conjunto solução.

Answer 1

a) substituindo x por 3 , temos :

1/(3-1) + 2/(3-2)  =  2/(3-1).(3-2)

1/2 + 2/1 = 2/2.1

1/2 + 2 = 1

1/2 = -1 (Falso)

b) Como ao substituir x por 3 a igualdade não aconteceu , 3 não é raiz da equação.

c) Substituindo x por 2 , temos :

1/(2-1) + 2/(2-2) = 2/(2-1).(2-2)

1/1 + 2/0 = 2/1.0 

Vemos que ao substituir x por 2 tornamos alguns denominadores iguais a 0 , e é impossível uma divisão por 0 na matematica . 

d) Como ao substituir x por 2 apareceram denominadores iguais a 0 na equação , 2 não pode ser raiz .

e) Resolvendo a equação e sabendo que x ≠ 1 e x ≠ 2 , já que os denominadores devem ser diferentes de 0 :

$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{(x-1).(x-2)}$

Multiplicando por (x-1).(x-2) :

$\frac{(x-1).(x-2)}{x-1} + \frac{2.(x-1).(x-2)}{x-2} = \frac{2.(x-1).(x-2)}{(x-1).(x-2)}$

$x-2 + 2.(x-1) = 2$

$x-2 + 2x-2 = 2$

$2x+x = 2+2+2$

3x = 6 

x = 6/3 

x = 2 , porém x não pode ser 2 visto que zera o denominador.

Logo , a equação não tem solução.