Question

A forma trigonométrica do número complexo z= 5+5i é

Answer 1

$\displaystyle z=5+5i$ fígura 1


1) calcular módulo de z:
$|z|=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=\boxed{5\sqrt{2}}$
figura 2

2) encontrar argumento (ângulo que o número complexo faz com a reta real)
pelas relações trigonométricas:
$\displaystyle \sin(\theta)=\frac{CO}{HIP}\\\\ \cos(\theta)=\frac{CA}{HIP}$
No caso dos números complexos:
$\displaystyle \sin(\theta)=\frac{Im}{|z|}=\frac{b}{|z|}\\\\\cos(\theta)=\frac{\mathbb{R}}{|z|}=\frac{a}{|z|}$
No caso o número z = 5+5i, então:
$\displaystyle \sin(\theta)=\frac{5}{5\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\boxed{\frac{\sqrt2}{2}}\\\\ \cos(\theta)=\frac{5}{5\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\boxed{\frac{\sqrt2}{2}}$
o ângulo que possui seno = cosseno = $\frac{\sqrt2}{2}$ é $\displaystyle \frac{\pi}{4}$rad (45°).
Figura 3


3) escrever na fórmula trigonométrica:
um número complexo é escrito em forma trigonométrica assim:
$\displaystyle z=|z|\cdot\left(\cos(\theta) +i\sin(\theta)\right)$
então para o nosso caso:
$\displaystyle \boxed{z=5\sqrt{2}\cdot\left(\cos(\frac{\pi}{4}) +i\sin(\frac{\pi}{4})\right)=5\sqrt2\cdot\left(\cos(45\°) +i\sin(45\°)\right)}$

lembrando que alguns professores e livros utilizam a letra grega rho para representar o módulo:
$\rho=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

espero ter ajudado :)