Question

70 PONTOS!
Um triângulo ABC possui ângulos internos de Â=64°, B=36° e ^C=80°.
 Considere a circunferência inscrita neste triângulo, de centro I e que toca os lados do triângulo nos pontos P, Q e R.

(a)Olhando para o quadrilátero AQIR, calcule a medida do ângulo QÎR deste quadrilátero.

(b)Calcule a medida do ângulo Q^PR  do triângulo PQR.

(c)Calcule a medida dos outros dois ângulos internos do triângulo PQR.

Answer 1

a)Observe que o centro da circunferência inscrita de um triângulo é o incentro que é o encontro das bissetrizes de um triângulo logo:

$A\hat{C}I=I\hat{C}P=80/2=40^{\circ}\\ R\hat{A}I=Q\hat{A}I=64/2=32^{\circ}\\ P\hat{B}I=I\hat{B}R=36/2=18^{\circ}$

Além disso,como o círculo é tangente aos lados do triângulo ABC os ângulos marcados em verde são retos.
Antes de continuar,usaremos um fato da geometria:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°

$QIR=QIA+AIR\\ =[180-(90+32)]+[180-(90+32)]= \\=58+58=116^{\circ}$

b)Usaremos outro fato da geometria:
Um ângulo inscrito tem medida igual a metade do ângulo central de mesmo arco.

$QPR=QIR/2=116/2=58^{\circ}$

c)Usando o mesmo raciocínio do item b),podemos calcular os outros dois ângulos.
$PIR=PIB+BIR=\\ =[180-(90+18)]+[180-(90+18)]=\\ =72+72=144^{\circ}\\ \\ P\hat{Q}R=P\hat{I}R/2=144/2=72^{\circ}$

$Q\hat{I}P=C\hat{I}Q+C\hat{I}P=\\ \\=[180-(90+40)]+[180-(90+40)]=\\ =50+50=100^{\circ}\\ \\ P\hat{R}Q=Q\hat{I}P/2=100/2=50^{\circ}$