Question

Qual a derivada de cos ?

Answer 1

$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=\frac{d}{dx}\cos(x)\\\\\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)}{h}-\frac{\cos(x)}{h}=\\\\\lim_{h\to0}\frac{\cos(x)\cdot\cos(h)-\sin(x)\cdot\sin(h)-\cos(x)}{h}\implies\\\\\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1\longrightarrow \lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}=1}^{*}\\\\\lim_{h\to0}-\sin(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}+\frac{\cos(h)\cos(x)-\cos(x)}{h}\implies\\\\\lim_{h\to0}-\sin(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}+\lim_{h\to0}\cos(x)\cdot\frac{\cos(h)-1}{h}$

$\displaystyle \boxed{\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x}=0\longrightarrow \lim_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0}^{**}\\\\ \lim_{h\to0}-\sin(x)\cdot\frac{\sin(h)}{h}+\lim_{h\to0}\cos(x)\cdot\frac{\cos(h)-1}{h}=\\\\-\sin(x)\cdot1+\cos(x)\cdot0=-\sin(x)+0=\boxed{-\sin(x)}=\frac{d}{dx}$

aqui em cima fiz uma demonstração.
mas é uma derivada notável, derivada de cosseno é igual a menos seno: cos'(x)=-sen(x)

* limite fundamental do seno
** limite fundamental do cosseno