Question

No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

Answer 1

$\displaystyle \vec\nabla f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\hat{k}$

então considerando que $\displaystyle f(x,y)=\frac{y\ln y}{x^2}$
o gradiente de f:
$\displaystyle \vec{\nabla}\left(\frac{y\ln y}{x^2}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y\ln y}{x^2}\right)\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y\ln y}{x^2}\right)\hat{j} \implies \\\\\frac{\partial f}{\partial x}=\left(y\ln y\cdot \frac{\partial }{\partial x}x^{-2}\right)=y\ln y\cdot -2x^{-3}=\boxed{-\frac{2y\ln y}{x^3}}\\\\\frac{\partial f}{\partial y}=\left(\frac{1}{x^2}\cdot\frac{\partial }{\partial y}y\ln y\right)=\frac{1}{x^2}\cdot \left(1\cdot \ln y+\frac{1}{y}\cdot y\right)=\ln y+1\cdot\frac{1}{x^2}=\boxed{\frac{\ln y+1}{x^2}}$
$\displaystyle \vec{\nabla}f=\frac{\partial f}{\partial x}\hat{k}+\frac{\partial f}{\partial y}\hat{j}=\boxed{\left(-\frac{2y\ln y}{x^3}\right)\hat{i}+\left(\frac{\ln y+1}{x^2}\right)\hat{j}}$
letra a