Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de R^3,justifique:
a) todos os vetores da forma (a, 0, 0).
b) todos os vetores da forma (a, 1, 0).
c) todos os vetores da forma (a, b, c), com c = a + b.
d) todos os vetores da forma (a, b, c), com a + b + c = 1.
Respostas
Propriedades de um subespaço vetorial S qualquer:
1) O vetor nulo pertence a S, ou seja, (0, ..., 0) ∈ S.
2) Se u ∈ S e v ∈ S, então u + v ∈ S.
3) Se u ∈ S e α ∈ R, então αu ∈ S.
Analisemos as opções.
a) todos os vetores da forma (a, 0, 0).
É subespaço de R³, pois este conjunto de vetores atende às três propriedades.
b) todos os vetores da forma (a, 1, 0).
Não é subespaço de R³, pois (0,0,0) não pertence a este conjunto de vetores (propriedade 1).
c) todos os vetores da forma (a, b, c), com c = a + b.
É subespaço de R³, pois este conjunto de vetores atende às três propriedades.
d) todos os vetores da forma (a, b, c), com a + b + c = 1.
Não é subespaço de R³, pois (0,0,0) não pertence a este conjunto de vetores (propriedade 1). Note que a soma das coordenadas do vetor (0,0,0) é diferente de 1.
Os subespaços são: a) todos os vetores da forma (a, 0, 0) e c) todos os vetores da forma (a, b, c), com c = a + b.
Para subconjunto ser subespaço, as três condições abaixo deverá ser satisfeita:
- O subespaço tem que ser diferente de vazio;
- Se os vetores u e v pertencem ao subespaço, então u + v também pertence;
- Se o vetor u pertence ao subespaço e α é um escalar real, então α.u pertence ao subespaço.
a) O subespaço é diferente de vazio, porque (0,0,0) pertence ao subespaço.
Os vetores (a,0,0) e (b,0,0) pertencem ao subespaço. A soma (a,0,0) + (b,0,0) = (a + b, 0, 0) pertence ao subespaço.
Sendo o vetor (a,0,0) e α, temos que α(a,0,0) = (a.α,0,0) pertence ao subespaço.
Logo, é um subespaço.
b) Não temos um subespaço, porque:
(a,1,0) e (b,1,0) são vetores do subespaço, mas (a,1,0) + (b,1,0) = (a + b, 2, 0) não faz parte do subespaço.
c) Os vetores são da forma (a, b, a + b).
O vetor nulo pertence a esse subespaço.
Os vetores (a, b, a + b) e (c, d, c + d) pertencem ao subespaço é a soma (a, b, a + b) + (c, d, c + d) = (a + c, b + d, a + b + c + d) também pertence ao subespaço.
Dado o vetor (a, b, a + b) e α, temos que o vetor α(a, b, a + b) = (aα, bα, aα + bα) pertence ao subespaço.
Logo, é um subespaço.
d) Não é um subespaço. Observe que os vetores (1, 0, 0) e (0, 1, 0) pertencem ao subespaço. Mas (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) não pertence.
Para mais informações sobre subespaço: https://brainly.com.br/tarefa/20045929
