Question

Um cubo de aresta 4 cm foi seccionado por um plano, originando dois sólidos geométricos conforme
indica a figura.

a) Calcule o volume de cada um dos dois sólidos obtidos por essa secção.

b) Calcule a área total da superfície de cada um dos sólidos obtidos por essa secção.

Answer 1

•   aresta do cubo dado:   a = 4 cm.

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Como podemos ver pelas figuras em anexo à tarefa, tínhamos um cubo, que foi separado em dois sólidos:

•   Um tetraedro (pirâmide triangular), em que

       a base é um triângulo equilátero;

       as faces laterais são triângulos retângulos isósceles.


•   A aresta da base dessa pirâmide é um triângulo equilátero cujo lado é

$\mathsf{L=a\sqrt{2}}\\\\ \mathsf{L=4\sqrt{2}~cm}$


•   Um sólido restante de 7 faces, que foi obtido ao se retirar a pirâmide do cubo.

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Vamos primeiramente calcular ao volume do tetraedro.

•   Área da base, é a área de um triângulo equilátero, com lado $\mathsf{L=4\sqrt{2}~cm:}$

$\mathsf{A_b=\dfrac{L^2\sqrt{3}}{4}}\\\\\\ \mathsf{A_b=\dfrac{(4\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}}\\\\\\ \mathsf{A_b=\dfrac{4^2\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{4}}\\\\\\ \mathsf{A_b=8\sqrt{3}~cm^2}$


•   Observe a figura 1 em anexo.

Podemos enxergar o ponto P como sendo a projeção do vértice da pirâmide sobre o plano da base.

Por se tratar de um tetraedro que possui simetria, G é o baricentro do triângulo dado.


Portanto a medida p do apótema deste triângulo é (figura 1):

$\mathsf{p=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{L\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{(4\sqrt{2})\cdot \sqrt{3}}{3\cdot 2}}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{4\sqrt{2\cdot 3}}{6}}\\\\\\ \mathsf{p=\dfrac{4\sqrt{6}}{6}~cm}$


•   Observe a figura 2 em anexo:

O lados do triângulo retângulo MGV são,

    •   o apótema p da base triangular da pirâmide,

    •   o apótema q da face da pirâmide;

    •   a altura h da pirâmide.


Perceba que o q é a metade da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto,

$\mathsf{q=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}~cm}$


Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo da figura 2, obtemos

$\mathsf{p^2+h^2=q^2}\\\\ \mathsf{h^2=q^2-p^2}\\\\ \mathsf{h^2=\bigg(\dfrac{4\sqrt{2}}{2}\bigg)^{\!\!2}-\bigg(\dfrac{4\sqrt{6}}{6}\bigg)^{\!\!2}}\\\\\\ \mathsf{h^2=\dfrac{4^2\cdot 2}{2^2}-\dfrac{4^2\cdot 6}{6^2}}\\\\\\ \mathsf{h^2=\dfrac{4^2}{2}-\dfrac{4^2}{6}}\\\\\\ \mathsf{h^2=4^2\cdot \bigg(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}\bigg)}$

$\mathsf{h^2=4^2\cdot \bigg(\dfrac{3}{6}-\dfrac{1}{6}\bigg)}\\\\\\\mathsf{h^2=4^2\cdot \dfrac{2}{6}}\\\\\\ \mathsf{h^2=\dfrac{4^2\cdot 2}{6}}\\\\\\ \mathsf{h=\sqrt{\dfrac{4^2\cdot 2}{6}}}$

$\mathsf{h=\sqrt{\dfrac{4^2\cdot 2}{6}}}\\\\\\ \mathsf{h=\sqrt{\dfrac{4^2\cdot 1}{3}}}\\\\\\ \mathsf{h=\sqrt{\dfrac{4^2\cdot 3}{3^2}}}\\\\\\ \mathsf{h=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}~cm}$

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a) Os volumes dos sólidos obtidos:

•   Encontrando o volume da pirâmide:

$\mathsf{V_p=\dfrac{1}{3}\,A_b\cdot h}\\\\\\ \mathsf{V_p=\dfrac{1}{3}\cdot (8\sqrt{3})\cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_p=\dfrac{8\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}}{3\cdot 3}}\\\\\\ \mathsf{V_p=\dfrac{32\cdot (\sqrt{3})^2}{3\cdot 3}}\\\\\\ \mathsf{V_p=\dfrac{32\cdot \diagup\!\!\!\! 3}{3\cdot \diagup\!\!\!\! 3}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{l} \mathsf{V_p=\dfrac{32}{3}~cm^3} \end{array}}$

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•   Encontrando o volume do sólido restante (aquele com 7 faces):

$\mathsf{V_s=a^3-V_p}\\\\ \mathsf{V_s=4^3-\dfrac{32}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_s=64-\dfrac{32}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_s=\dfrac{192}{3}-\dfrac{32}{3}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{V_s=\dfrac{160}{3}~cm^3} \end{array}}$


b) As áreas totais dos sólidos obtidos:

•   Encontrando a área total da pirâmide:

A pirâmide é formada pela base, que é um triângulo equilátero, mais três triângulos isósceles, cada um medindo a metade da área de uma face do cubo.


Portanto, a área total da pirâmide é

$\mathsf{A_p=A_b+3\cdot \bigg(\dfrac{1}{2}a^2\bigg)}\\\\\\ \mathsf{A_p=8\sqrt{3}+3\cdot \bigg(\dfrac{1}{2}\cdot 4^2\bigg)}\\\\\\ \mathsf{A_p=8\sqrt{3}+3\cdot 8}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{A_p=8\,(\sqrt{3}+3)~cm^2} \end{array}}$

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•   Encontrando a área total do sólido restante (aquele com 7 faces):

     Este sólido possui

     3 faces quadradas, com lado medindo a = 4 cm;

     3 faces na forma de triângulos isósceles, sendo que a área de cada um é               metade da área de uma face do cubo;

     1 face na forma de triângulo equilátero, cuja área é a mesma área da base            da pirâmide.


Portanto, a área total do sólido restante é

$\mathsf{A_s=3\cdot a^2+3\cdot \bigg(\dfrac{1}{2}\,a^2\bigg)+A_b}\\\\\\ \mathsf{A_s=3\cdot 4^2+3\cdot \bigg(\dfrac{1}{2}\cdot 4^2\bigg)+8\sqrt{3}}\\\\\\ \mathsf{A_s=3\cdot 16+3\cdot 8+8\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{A_s=48+24+8\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{A_s=72+8\sqrt{3}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{A_s=8\,(9+\sqrt{3})~cm^2} \end{array}}$


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