Question

um triangulo equilatero foi inscrito em um hexágono regular. Se a área do triangulo é 2, então a área do hexágono é:

Answer 1

Um triângulo equilátero inscrito em um hexágono apresenta seus três vértices coincidindo com três vértices não consecutivos do hexágono. Neste contexto, o centro de hexágono coincide com a mediatriz do triângulo.
Agora, ao dividirmos o hexágono a partir do centro em outros seis triângulos equiláteros iguais, observamos que o lado de cada um dos 6 triângulos corresponde a 2/3 da altura do triângulo inscrito (uma vez que a mediatriz situa-se a 2/3 da distância de um vértice até o lado). Portanto, a área do hexágono é igual à soma da área dos 6 triângulos menores que o compõe.

Dada a área do triângulo inscrito, obtemos seu lado l:
Ai = l²√3/4
2 = l²√3/4
8/√3 = l²
l = √(8/√3)  

O lado x de cada um dos 6 triângulos que cobrem a área do hexágono é igual a 2/3 da altura do triângulo inscrito:
x = (2/3).h = (2/3).(l√3)/2 = (2/3).[√(8/√3)](√3)/2 = [√(8/√3)](√3)/3

A área Ah do hexágono será igual a 6 vezes a área Ax dos triângulos equiláteros de lado x:
Ah = 6.Ax
Ah = 6.x²(√3)/4
Ah = 6 . {[√(8/√3)](√3)/3}² . (√3)/4
Ah = 6.(8/√3).3/9.(√3)/4
Ah = 12/3
Ah = 4.