Question

em um retangulo,a área pode ser obtida multiplicando-se o comprimento pela largura.em determinado retângulo que tem 54 cm 2 de área,comprimento é expresso por (x-1) cm,enquanto a largura é expressa por (x-4)cm. nessas condiçoes,determine o valor de x.

Answer 1

Do enunciado da tarefa podemos escrever:
$(x-1)(x-4)=54 \\ x^2-4x-x+4-54=0 \\ x^2-5x-50=0$
Esta equação tem apenas uma raiz positiva x=10

Answer 2

Bem simples, Raquel. Como o próprio exercício diz, para acharmos a área de um retângulo, basta multiplicar comprimento pela largura...

sendo:
comprimento = (x-1)cm
largura = (x-4)cm

Por isso, teoricamente, multiplicando estes termos, acharemos a área. Como a área já foi dada, só iremos achar o "x".

$(x-1) \cdot (x-4) = 54 \\\\ (x \cdot x) - (x \cdot 4) - (1 \cdot x) + (1 \cdot 4) \\\\ x^{2} - 4x - 1x + 4 = 54 \\\\ x^{2} - 5x + 4 = 54 \\\\ x^{2}-5x+4-54=0 \\\\ x^{2}-5x-50=0$

Caímos numa equação de segundo grau. Vamos resolve-la:

$x^{2}-5x-50=0 \\\\ \Delta = b^{2}-4\cdot a \cdot c \\\\ \Delta = (-5)^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (-50) \\\\ \Delta = 25+200 \\\\ \Delta = 225$

$x^{2}-5x-50=0 \\\\ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a} \\\\ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} \\\\ x = \frac{5 \pm 15}{2} \\\\\\ \rightarrow x' = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = \boxed{10} \\\\ \rightarrow x'' = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = \boxed{-5}$

Testando os dois resultados:

$\rightarrow x = 10 \\\\ comprimento \Rightarrow x-1 \Rightarrow 10-1 = 9 \\ largura \Rightarrow x-4 \Rightarrow 10-4=6 \\\\ comprimento \times largura \Rightarrow 9 \cdot 6 = 54cm^{2}$

$\rightarrow x = -5 \\\\ comprimento \Rightarrow x-1 \Rightarrow -5-1 = -6 \\ largura \Rightarrow x-4 \Rightarrow -5-4=-9 \\\\ n\~{a} \ existe \ medidas \ negativas [tex]\therefore \boxed{\boxed{x=10}}$