Question

Resolva as seguintes equações exponenciais utilizando artificio, e de o conjunto solução:
a) 2^{x+1} + 2^{x-1}= 20
b) 3^{x+1} - 3^{x+2= -54
c) 3^{2x} + 2.3^{x} - 15= 0

Answer 1

Oi Tiago.

Vamos lá, é só usar a regra da substituição.

$A)\\ 2^{ x+1 }+2^{ x-1 }=20\\ 2^{ x }*2+\frac { 2^{ x } }{ 2 } =20\\ \\ 2^{ x }=y\\ \\ y*2+\frac { y }{ 2 } =20\\ \\ 2y+\frac { y }{ 2 } =20\\ \\ \frac { 4y+y=40 }{ 2 } \\ \\ 5y=40\\ y=\frac { 40 }{ 5 } \\ \\ y=8\\ \\ 2^{ x }=8\\ 2^{ x }=2^{ 3 }\\ x=3$

$B)\\ 3^{ x+1 }-3^{ x+2 }=-54\\ 3^{ x }*3-3^{ x }*3^{ 2 }=-54\\ 3^{ x }=y\\ \\ y*3-y*9=-54\\ 3y-9y=-54\\ -6y=-54\quad (-1)\\ 6y=54\\ y=\frac { 54 }{ 6 } \\ \\ y=9\\ \\ 3^{ x }=9\\ 3^{ x }=3^{ 2 }\\ x=2$

$C)\\ 3^{ 2x }+2*3^{ x }-15=0\\ 3^{ 2x }=y^{ 2 }\\ 3^{ x }=y\\ \\ y^{ 2 }+2*y-15=0\\ y^{ 2 }+2y-15=0\\ \\ S=-5+3=-2\\ P=-5*3=-15\\ \\ 3^{ x }=-5\quad ou\quad 3^{ x }=3$

Resultado negativo não pode.

$3^{ x }=3^{ 1 }\\ x=1$

Answer 2

E aí Thiago,

dadas as equações exponenciais acima, use as propriedades da exponenciação:

A)

$2^{x+1}+2^{x-1}=20\\ 2^{x}*2^1+2^x*2^{-1}=20\\ 2^x*(2^1+2^{-1})=20\\\\ 2^x*\left(2+ \dfrac{1}{2}\right)=20\\\\ 2^x* \dfrac{5}{2}=20\\\\ 2^x*5=20*2\\ 5*2^x=40\\\\ 2^x= \dfrac{40}{5}\\\\ 2^x=8\\ 2^x=2^3\\ \not2^x=\not2^3\\\\ x=3\\\\ \boxed{S=\{3\}}$

________________________

B)

$3^{x+1}-3^{x+2}=-54\\ 3^x*3^1-3^x*3^2=-54\\ 3^x*(3^1-3^2)=-54\\ 3^x*(3-9)=-54\\ 3^x*(-6)=-54\\\\ 3^x= \dfrac{-54}{-6}\\\\ 3^x=9\\ 3^x=3^2\\ \not3^x=\not3^2\\\\ x=2\\\\ \boxed{S=\{2\}}$

________________________

C)

$3^{2x}+2*3^x-15=0\\ (3^x)^2+2*3^x-15=0\\\\ 3^x=k\\\\ (k)^2+2*(k)-15=0\\ k^2+2k-15=0$

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=2^2-4*1*(-15)\\ \Delta=4+60\\ \Delta=64$

$k= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}\\\\\\ k= \dfrac{-2\pm \sqrt{64} }{2*1}= \dfrac{-2\pm8}{2}\begin{cases}k'= \dfrac{-2+8}{2}= \dfrac{6}{2}=3\\\\ k''= \dfrac{-2-8}{2}= \dfrac{-10}{2}=-5 \end{cases}$

Retomando a variável original,

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3^x=k:\\\\ ~~k=3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3^x=-5~\notin~R\\ ~~3^x=3\\ ~~3^x=3^1\\ \not3^x=\not3^1\\\\ x=1\\\\ \boxed{S=\{1\}}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))