Question

tg (x/2)=1/2, determine o valor da tg (x)

Answer 1

Olá,

tem uma formula que diz

$Tg(a+b) = \frac{tg(a)+Tg(b)}{1-tg(a)tg(b)}$

Se a e b = x/2

$\\ tg( \frac{x}{2} + \frac{x}{2} ) = \frac{tg( \frac{x}{2} )+tg( \frac{x}{2} )}{1-tg( \frac{x}{2} ).tg( \frac{x}{2} )} \\ \\ tg(x) = \frac{ \frac{1}{2}+\frac{1}{2} }{1-(\frac{1}{2})^2} \\ \\ tg(x) = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\ \\ tg(x) = \frac{1}{\frac{3}{4}} \\ \\ tg(x) = \frac{4}{3}$

Answer 2

Vamos lá.

Veja que há fórmulas para funções de arco-metade.
Note que as principais são estas:

sen(x/2) = +-√[(1-cos(x))/2]
cos(x/2) = +-√[1+cos(x))/2]
tan(x/2) = +-√[(1-cos(x)/(1+cos(x)]

Então vamos utilizar a fórmula de tan(x/2). Assim teremos

tan(x/2) = +-√[(1-cos(x)/(1+cos(x)] ---- substituindo-se tan(x/2) por "1/2", teremos:

1/2 = +-√[(1-cos(x)/(1+cos(x)] ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos;

(1/2)² = {+-√[(1-cos(x))/(1+cos(x))]}² ---- desenvolvendo, ficaremos;

1/4 = (1-cos(x))/(1+cos(x)) ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
1*(1+cos(x))  = 4*(1-cos(x))   ---- efetuando os produtos indicados, temos:

1 + cos(x) = 4 - 4cos(x) ---- passando tudo o que tem "cos(x)" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, teremos:

cos(x) + 4cos(x) = 4 - 1
5cos(x) = 3
cos(x) = 3/5 <--- Este é o valor de cos(x).

Agora, para encontrar o valor de sen(x) vamos pra primeira relação fundamental da trigonometria, segundo a qual tem-se:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se cos(x) por "3/5", teremos:
sen²(x) + (3/5)² = 1
sen²(x) + 9/25 = 1
sen²(x) = 1 - 9/25 ---- mmc no 2º membro = 25. Assim:
sen²(x) = (25*1 - 1*9)/25
sen²(x) = (25-9)/25
sen²(x) = 16/25
sen(x) = +-√(16/25) ---- note que √(16/25) = 4/5. Logo:
sen(x) = +- 4/5 ---- mas como o cosseno é igual a "3/5" e a tangente do arco (x/2) é positiva, então vamos considerar o seno positivo também.
Logo, teremos que:

sen(x) = 4/5.

Agora veja: como já temos que sen(x) = 4/5 e que cos(x) = 3/5, então vamos calcular o valor pedido de tan(x), que é dado por:

tan(x) = sen(x)/cos(x) ---- substituindo-se sen(x) e cos(x) por seus valores, teremos:

tan(x) = (4/5)/(3/5) --- veja: divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:

tan(x) = (4/5)*(5/3) --- efetuando este produto, teremos:
tan(x) = 4*5/5*3
tan(x) = 20/15 ---- dividindo-se numerador e denominador por "5", ficaremos apenas com:

tan(x) = 4/3 <--- Esta é a resposta. Este é o valor pedido de tan(x).

Observação: note que resolvemos a questão pela fórmula do arco-metade. Se você quiser, também poderá fazer pela fórmula do arco duplo.
Veja: se você tem que tan(x/2) = 1/2 , então se quer saber quanto é tan(x) isto significa que você multiplicou por "2" o arco de "x/2", ficando: tan(2*x/2) = tan(x).
E, como a fórmula de tan(2a) = 2tan(a)/[1-tan²(a)], então seria só aplicar, ficando:

tan(x) = 2*tan(x/2)/[1-tan²(x/2)] ---- como já vimos que tan(x/2) =- 1/2, então fazendo as devidas substituições teríamos:

tan(x) = 2*(1/2) / [1 - (1/2)²]
tan(x) = 2/2 / [1 - 1/4] ----- como 2/2 = 1 e 1-1/4 = 3/4, teríamos:
tan(x) = 1/ (3/4) ---- note que 1/(3/4) = 4/3. Logo:
tan(x) = 4/3 <--- Veja que a resposta é a mesma.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.