Question

Solução da equação log₂ x + log ₄ x = 1

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cintita, que a resolução é simples. Tem-se:

log₂ (x) + log₄ (x) = 1

Antes veja que, como só há logaritmos de números positivos (x>2), então teremos que impor a condição de existência da expressão acima. Logo, deveremos impor que os logaritmandos (x) deverão ser positivos. Assim:

x > 0 <--- Esta é a única condição de existência da expressão acima.

Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₂ (x) + log₄ (x) = 1 ----- note que "4" =2². Assim:

log₂ (x) + log₂² (x) = 1

Agora veja isto: há uma propriedade logarítmica que afirma isto: o INVERSO do expoente da base passa multiplicando o respectivo logaritmo. Então a nossa expressão logarítmica passará a ser esta:

log₂ (x) + (1/2)*log₂ (x) = 1 ---- vamos passar "1/2" como expoente do "x", ficando:

log₂ (x) + log₂ (x¹/²) = 1 ---- como as bases são iguais, então já podemos transformar a soma em produto, com o que ficaremos da seguinte forma:

log₂ [x * x¹/²] = 1 ---- agora aplicaremos a definição de logaritmo. Logo:

2¹ = x * x¹/² ---- ou apenas:
2 = x * x¹/² --- note que o "x" que está sem expoente ele tem, na verdade, expoente igual a "1". É como se fosse assim:

2 = x¹ * x¹/² ------ veja que temos aqui uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

2 = x¹⁺¹/² -------- atente que 1+1/2 = 3/2. Assim, iremos ficar com:

2 = x³/² ------ veja novamente que x³/² é a mesma coisa que √(x³) . Assim:

2 = √(x³) ---- vamos apenas inverter, ficando:

√(x³) = 2 ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos assim:

[√(x³)]² = 2² ----- desenvolvendo, teremos:

x³ = 4
 
x = ∛(4) <---- Pronto. Esta é a resposta. E veja que a raiz encontrada é maior do que zero, o que atende à condição de existência vista antes.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

$\large\begin{array}{l} \textsf{Resolver a equa\c{c}\~ao logar\'itmica}\\\\ \mathsf{\ell og_2\,x+\ell og_4\,x=1\qquad\quad(i)}\\\\\\ \textsf{Como o ideal \'e trabalharmos com logaritmos de bases iguais,}\\\textsf{vou usar a lei de mudan\c{c}a de base:}\\\\ \mathsf{\ell og_b\,a=\dfrac{\ell og_c\,a}{\ell og_c\,b}}\\\\\\ \textsf{na 2}\mathsf{^a}\textsf{ parcela da soma do lado esquerdo de (i)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Transformando todos os logaritmos para a base }\mathsf{c=2:}\\\\ \mathsf{\ell og_2\,x+\dfrac{\ell og_2\,x}{\ell og_2\,4}=1}\\\\ \begin{array}{ll} \mathsf{\ell og_2\,x+\dfrac{\ell og_2\,x}{\ell og_2(2^2)}=1}&\qquad\textsf{(aplique a propriedade do}\\ &\qquad\textsf{log da pot\^encia)} \end{array}\\\\ \begin{array}{ll} \mathsf{\ell og_2\,x+\dfrac{\ell og_2\,x}{2\,\ell og_2\,2}=1}&\qquad\textsf{(mas }\mathsf{\ell og_2\,2=1}\textsf{)} \end{array}\\\\ \mathsf{\ell og_2\,x+\dfrac{\ell og_2\,x}{2\cdot 1}=1} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{\ell og_2\,x+\dfrac{1}{2}\,\ell og_2\,x=1}\\\\ \mathsf{\dfrac{2\,\ell og_2\,x}{2}+\dfrac{\ell og_2\,x}{2}=1}\\\\ \mathsf{\dfrac{2\,\ell og_2\,x+\ell og_2\,x}{2}=1}\\\\ \mathsf{2\,\ell og_2\,x+\ell og_2\,x=2}\\\\ \mathsf{3\,\ell og_2\,x=2} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{\ell og_2\,x=\dfrac{2}{3}}\\\\ \mathsf{x=2^{\frac{2}{3}}}\\\\ \mathsf{x=\,^3\!\!\!\sqrt{2^2}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x=\,^3\!\!\!\sqrt{4}}\end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a solu\c{c}\~ao.}\end{array}$


(pois este valor é positivo, logo o seu logaritmo está bem definido (ver condições de existência para os logaritmos).


$\large\begin{array}{l} \textsf{Conjunto solu\c{c}\~ao: }\mathsf{S=\left\{^3\!\!\!\sqrt{4}\right\}.} \end{array}$


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$\large\begin{array}{l} \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$


Tags: equação logarítmica soma logaritmo mudança base solução resolver álgebra