Question

a integral de y = x sen (x^2 +1) è

Answer 1

$\displaystyle \int\,x\sin(2x+1)\,dx\\\\i)\\u=x\\v'=\sin(2x+1)\\\\ii)\ \int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du\\\\\\\\\int\sin(2x+1)dx=-\frac{\cos(2x+1)}{2}=v\\\\u=x\ u'=1\ \ \ du=dx\\\\iii)\ \int\,x\cdot\sin(2x+1)\,dx=x\cdot\left(-\frac{\cos(2x+1)}{2}\right)-\int-\frac{\cos(2x+1)}{2}dx\\\\iv)\int\,x\sin(2x+1)\,dx=\underline{-\frac{x\cos(2x+1)}{2}+\frac{1}{2}\int\cos(2x+1)dx}\\\\v)\int\cos(2x+1)\,dx\longrightarrow2x+1=u\longrightarrow dx=\frac{du}{2}\longrightarrow\int\cos(u)\frac{du}{2}$
$\displaystyle \ vi)\frac{1}{2}\int\cos(u)\,du=\frac{1}{2}\cdot\sin(2x+1)=\underline{\frac{\sin(2x+1)}{2}+C} \\\\ vii)\int\,x\sin(2x+1)\,dx=-\frac{x\cos(2x+1)}{2}+\frac{1}{2}\frac{\sin(2x+1)}{2}+C\\\\ viii)\ \int\,x\sin(2x+1)\,dx=\boxed{\frac{\sin(2x+1)}{4}-\frac{x\cos(2x+1)}{2}+C}$

fiz por integração por partes, os passos:

i) definir quem é u e v'

ii) integração por partes (definir quem é u, v, dv, du)
 lembrando que: 
$\displaystyle \frac{dv}{dx}=\sin(2x+1)\implies dv=\sin(2x+1)dx\\\\e\\\\ \frac{du}{dx}=1\implies dx=du$

iii) substituir os valores na fórmula

iv) desenvolver

v) integrar cos(2x+1)dx (integral v.du)

vi) terminar a integral cos(2x+1)dx e adicionar constante de integração

vii) substituir o valor da integral na fórmula e sucesso!

gráficos abaixo: