Question

Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas. De quantas maneiras poderá ser escolhida uma comissão de três meninos e quatro meninas, incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e a melhor aluna?

Answer 1

Veja que neste caso os melhores alunos sempre estarão no grupo escolhido, então em vês de fazer a combinação com 10 meninos e 12 meninas teremos que fazer com 9 meninos e 11 meninas.

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Total de combinações para os meninos:

$C^{n}_p = \dfrac{n!}{p! . (n - p)!} \\ \\ \\ C^{9}_2 = \dfrac{9!}{2! . (9 - 2)!} \\ \\ \\ C^{9}_2 = \dfrac{9!}{2! . 7!} \\ \\ \\ C^{9}_2 = \dfrac{9.8. \not7!}{2! . \not7!} \\ \\ \\ C^{9}_2 = \dfrac{9.8.}{2.1} \\ \\ \\ C^{9}_2 = \dfrac{72}{2} \\ \\ \\ C^{9}_2 = 36 ~ maneiras$

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Total de combinações para os meninas:

$C^{n}_p = \dfrac{n!}{p! . (n - p)!} \\ \\ \\ C^{11}_3 = \dfrac{11!}{3! . (11 - 3)!} \\ \\ \\ C^{11}_3 = \dfrac{11!}{3! . 8!} \\ \\ \\ C^{11}_3 = \dfrac{11.10.9.\not8!}{3! . \not8!} \\ \\ \\ C^{11}_3 = \dfrac{11.10.9.}{3.2.1} \\ \\ \\ C^{11}_3 = \dfrac{990}{6} \\ \\ \\ C^{11}_3 = 165 ~ maneiras$

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Multiplica os resultados:

x = 36 . 165
x = 5940 maneiras

Answer 2

Poderá ser escolhida a comissão de 5940 maneiras.

Observe que a ordem da escolha dos alunos para formar a comissão não é importante.

Sendo assim, utilizaremos a fórmula da Combinação:

• $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

De acordo com o enunciado, a comissão deverá conter três meninos e quatro meninas.

Como o melhor aluno e a melhor aluna deverão estar na comissão, então precisamos escolher dois meninos entre os 9 disponíveis e três meninas entre as 11 disponíveis.

Para escolher os meninos, existem:

$C(9,2)=\frac{9!}{2!7!}$

C(9,2) = 36 maneiras de escolha.

Para escolher as meninas, existem:

$C(11,3)=\frac{11!}{3!8!}$

C(11,3) = 165 maneiras de escolha.

Portanto, podem ser formadas 36.165 = 5940 comissões distintas com o melhor aluno e a melhor aluna incluídos.

Para mais informações sobre Análise Combinatória: https://brainly.com.br/tarefa/5205335