Question

Seja um triângulo equilátero de lado 12 cm. Unindo-se os pontos
médios dos lados desse triângulo, obtém-se outro triângulo
equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados desse último
triângulo, construímos outro triângulo, e assim infinitamente.Qual
é a soma dos perímetros de todos os triângulos assim construídos?Qual
é a soma das áreas de todos os triângulos assim construídos?

Answer 1

Bonsouir cher ami !  Ça vá?

1º temos um triangulo  equilátero de lado 12 cujo seu perímetro é 12*3 = 36 cm

2º Agora formamos um outro triangulo  equilátero dentro deste último cujo lado mede 6, pois é a metade de 12 , logo 6*3 = 18 cm de perimetro

3º Formamos um outro triangulo equilátero dentro deste último triangulo, onde o lado valerá 3 cm , entãp 3*3 - 9 cm de perimetro

 E assim sucessivamente..............

Qual é a soma dos perímetros de todos os triângulos assim construídos?

( 36 , 18 , 9 .............)

Usaremos a P.G infinita de  Razão = 9/18 = 1/2


S = a1 / 1 - q

s = 36/ ( 1 - 1/2)  =  36*2 = 72 cm 



Qual é a soma das áreas de todos os triângulos assim construídos?

A área do triangulo é dada por 

A = b*h/2

Porém , como não temos a altura ¨h ¨ vamos ter que acha la da seguinte forma
 

12² = h² + 6²

h² = 108

h = √108 

A = 12*√108/2  =    6√108 ==> 6*2*3√3 ==>> 36√3

A = b*h/2

6² = h² + 3² 

36 = h² + 9 

h² = 27 

h= √27

A = 6*√27/2  =    3√27  =>  3*3√3  ==>  9√3

( 36√3 , 9√3.................)

r = 9√3 / 36√3  =   1/4  

S = (36√3)  /   (1 -  1/4  )

S =  (36√3)  /   (3/4  )

S =  (36√3)*(4/3  ) == 36*4√3 / 3 ==>>12*4√3 =  48√3

A  Bientot