• Matéria: Matemática
  • Autor: Lukyo
  • Perguntado 9 anos atrás

(50 PONTOS) Mostre que dado um natural \mathsf{n\  \textgreater \ 0} qualquer, o resultado da divisão de

\mathsf{\big[(9n-1)\cdot 10^{n+1}\big]} por \mathsf{81}

sempre deixa \mathsf{71} como resto.
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Respostas

respondido por: Niiya
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Usaremos um caminho (bastante) diferente do usual

Temos a seguinte informação (veja a prova no PDF anexo):

\boxed{\boxed{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot\beta^{k}=\dfrac{\beta^{k}}{(\beta-1)^{2}}\bigg[(\beta-1)k-\beta\bigg]\bigg|_{k=1}^{k=n+1}~~\forall~n\ge1,~\beta\neq1}}

Tomando \beta=10, temos

\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{10^{k}}{(10-1)^{2}}\bigg[(10-1)k-10\bigg]\bigg|_{k=1}^{k=n+1}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{10^{k}}{81}\bigg[9k-10\bigg]\bigg|_{k=1}^{k=n+1}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{1}{81}\bigg[10^{n+1}(9[n+1]-10)-10^{1}(9\cdot1-10)\bigg]\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{1}{81}\bigg[10^{n+1}(9n+9-10)-10(-1)\bigg]\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{1}{81}\bigg[(9n-1)10^{n+1}+10\bigg]

Porém, \sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k} é um número inteiro, pois é a soma de n números inteiros (já que k\in[1,n]\cap\mathbb{Z}10^{k}\in\mathbb{Z}~\forall~k\in\mathbb{Z}, e o produto de números inteiros é um número inteiro). Logo,

\displaystyle\dfrac{1}{81}\bigg[(9n-1)10^{n+1}+10}\bigg]=\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=s\in\mathbb{Z}

Portanto

(9n-1)10^{n+1}+10=81s

Como s é inteiro, então, por definição, 81|[(9n-1)10^{n+1}+10], ou, equivalentemente, (9n-1)10^{n+1}+10\equiv0\,(\mathtt{mod}~81)

(9n-1)10^{n+1}+10\equiv0\,(\mathtt{mod}~81)~\Leftrightarrow\\\\(9n-1)10^{n+1}\equiv-10\,(\mathtt{mod}~81)

Note que -10\equiv71\,(\mathtt{mod}~81), pois 81|(-10-71). Portanto, pela propriedade transitiva da congruência,

(9n-1)10^{n+1}\equiv71\,(\mathtt{mod}~81)

Existe um teorema da parte de congruências que diz que a\equiv b\,(\mathtt{mod}~m) se e somente se a deixa o mesmo resto que b na divisão por m

Como o resto da divisão de 71 por 81 é 71, pois 71=81\cdot0+71, então (9n-1)10^{n+1} deixa resto 71 na divisão por 81~\forall~n\ge1.
Anexos:

mariajosekj: Olá niiya você pode me ajudar com uma questão que está presente em meu perfil , agradeço desde já .
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