(50 PONTOS) Mostre que dado um natural qualquer, o resultado da divisão de
por
sempre deixa como resto.
Respostas
respondido por:
2
Usaremos um caminho (bastante) diferente do usual
Temos a seguinte informação (veja a prova no PDF anexo):
Tomando , temos
Porém, é um número inteiro, pois é a soma de números inteiros (já que e , e o produto de números inteiros é um número inteiro). Logo,
Portanto
Como é inteiro, então, por definição, , ou, equivalentemente,
Note que , pois . Portanto, pela propriedade transitiva da congruência,
Existe um teorema da parte de congruências que diz que se e somente se deixa o mesmo resto que na divisão por
Como o resto da divisão de por é , pois , então deixa resto na divisão por .
Temos a seguinte informação (veja a prova no PDF anexo):
Tomando , temos
Porém, é um número inteiro, pois é a soma de números inteiros (já que e , e o produto de números inteiros é um número inteiro). Logo,
Portanto
Como é inteiro, então, por definição, , ou, equivalentemente,
Note que , pois . Portanto, pela propriedade transitiva da congruência,
Existe um teorema da parte de congruências que diz que se e somente se deixa o mesmo resto que na divisão por
Como o resto da divisão de por é , pois , então deixa resto na divisão por .
Anexos:
mariajosekj:
Olá niiya você pode me ajudar com uma questão que está presente em meu perfil , agradeço desde já .
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