Question

$\large\begin{array}{l}\textsf{Dado o polin\^omio:}\\\\\\\mathsf{P(x)}=\begin{vmatrix} \mathsf{1~~~~~1~~~~~1~~~~~1}\\ \mathsf{x~~~~~1~~~~~2~~~~~3}\\ \mathsf{x^2~~~~1~~~~~4~~~~~9}\\ \mathsf{x^3~~~~1~~~~8~~~~27}\end{vmatrix}\\\\\\\textsf{Dizer quais s\~ao as ra\'izes de P(x).}\end{array}$

Answer 1

Olá Vinicius!
 
  Apliquemos o Teorema de Laplace. 
 
 Neste método, devemos escolher uma linha ou coluna. Escolherei a primeira coluna. Sendo assim, teremos:

$\\ \mathsf{P(x) = a_{11} \cdot A_{11} + a_{21} \cdot A_{21} + a_{31} \cdot A_{31} + a_{41} \cdot A_{41}} \\\\ \mathsf{P(x) = 1 \cdot \left [ (- 1)^{1 + 1} \cdot D_{11} \right ] + 1 \cdot \left [ (- 1)^{2 + 1} \cdot D_{21} \right ] + 1 \cdot \left [ (- 1)^{3 + 1} \cdot D_{31} \right ] + 1 \cdot \left [ (- 1)^{4 + 1} \cdot D_{41} \right ]}$

$\\ \mathsf{P(x) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 1 & 8 & 27 \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 9 \\ 1 & 8 & 27 \end{vmatrix} + x^2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 8 & 27 \end{vmatrix} - x^3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix}}$

 Bom! afim de não estender muito a resolução, não farei as contas necessárias para encontrar os determinantes das 4 matrizes acima, ok?! 
 
 Segue,

$\\ \mathsf{P(x) = 1 \cdot 12 - x \cdot 22 + x^2 \cdot 12 - x^3 \cdot 2} \\\\ \mathsf{P(x) = - 2x^3 + 12x^2 - 22x + 12}$ 
 
 As raízes de $\mathsf{P(x)}$ são dadas igualando-o a zero. Daí,

$\\ \mathsf{P(x) = 0} \\\\ \mathsf{- 2x^3 + 12x^2 - 22x + 12 = 0 \qquad \div(- 2} \\\\ \mathsf{x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0}$
 

 Vinícius, repare que ao somar os coeficientes da equação acima, obtemos ZERO como resposta; com isso, podemos tirar que UM é uma raiz, isto é, $\mathsf{(x - 1) | (x^3 - 6x^2 + 11x - 6)}$.

 Podemos encontrar as outras raízes efectuando essa divisão.

x³ - 6x² + 11x - 6 | (x - 1)
_____________ | x² - 5x + 6
+ x³ - 6x²
- x³ + x²
____________
- 5x² + 11x
+ 5x² - 5x
____________
+ 6x - 6
- 6x + 6
 ____________
0


 Com efeito,

$\\ \mathsf{P(x) = (x - 1) \cdot (x^2 - 5x + 6)} \\\\ \mathsf{P(x) = (x - 1) \cdot (x^2 - 2x - 3x + 6)} \\\\ \mathsf{P(x) = (x - 1) \cdot \left [ x(x - 2) - 3(x - 2) \right ]} \\\\ \mathsf{P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)}$


 Logo, $\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ 1, 2, 3 \right \}}}}$.