Question

Calcule o valor aproximado da ∫_2,2^2,8 ((√x+ln⁡(4x))/x )dx fazendo uso da integração pela regra dos trapézios com n=6. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo: 3,2 ; 0,9; 4,1 ; 5,0 ; 1,8

RESPOSTA: 0,9

Answer 1

A aproximação pela regra do trapézio repetida n vezes é dada por

$\displaystyle\boxed{\boxed{\int\limits_{a\,=\,x_{0}}^{b\,=\,x_{n}}f(x)dx\approx\dfrac{h}{2}\bigg[f(x_{0})+2\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_{k})+f(x_{n})\bigg]}}$

onde $h=\dfrac{b-a}{n}$ e $x_{k}=x_{0}+k\cdot h,~~~k\ge1$
_____________________________

Com $n=6$, temos $h=\dfrac{2,8-2,2}{6}=\dfrac{0,6}{6}=0,1$

Encontrando $x_{1},~x_{2},~...,~x_{5}$:

$x_{1}=x_{0}+h=2,2+0,1=2,3\\x_{2}=x_{1}+h=2,3+0,1=2,4\\x_{3}=x_{2}+h=2,4+0,1=2,5\\x_{4}=x_{3}+h=2,5+0,1=2,6\\x_{5}=x_{4}+h=2,6+0,1=2,7$

Agora, vamos encontrar aproximações com seis casas decimais para $f(x_{0}),~..,~f(x_{6})$:

$f(x_{0})=f(2,2)=\dfrac{\sqrt{2,2}+\ln(4\cdot2,2)}{2,2}\approx1,662723\\\\\\f(x_{1})=f(2,3)=\dfrac{\sqrt{2,3}+\ln(4\cdot2,3)}{2,3}\approx1,624252\\\\\\f(x_{2})=f(2,4)=\dfrac{\sqrt{2,4}+\ln(4\cdot2,4)}{2,4}\approx1,587899\\\\\\f(x_{3})=f(2,5)=\dfrac{\sqrt{2,5}+\ln(4\cdot2,5)}{2,5}\approx1,553490\\\\\\f(x_{4})=f(2,6)=\dfrac{\sqrt{2,6}+\ln(4\cdot2,6)}{2,6}\approx1,520868\\\\\\f(x_{5})=f(2,7)=\dfrac{\sqrt{2,7}+\ln(4\cdot2,7)}{2,7}\approx1,489894$

$f(x_{6})=f(2,8)=\dfrac{\sqrt{2,8}+\ln(4\cdot2,8)}{2,8}\approx1,460441$

Portanto, temos que

$f(x_{0})+2\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{5}f(x_{k})+f(x_{6})\approx18,67597$

Logo, pela regra dos trapézios composta:

$\displaystyle\int_{2,2}^{2,8}\dfrac{\sqrt{x}+\ln(4x)}{x}\,dx\approx\dfrac{h}{2}\bigg[f(x_{0})+2\sum\limits_{k=1}^{5}f(x_{k})+f(x_{5})\bigg]\\\\\\\int_{2,2}^{2,8}\dfrac{\sqrt{x}+\ln(4x)}{x}\,dx\approx\dfrac{0,1}{2}\cdot18,67597\\\\\\\boxed{\boxed{\int_{2,2}^{2,8}\dfrac{\sqrt{x}+\ln(4x)}{x}\,dx\approx0,9337985}}$

Claro que a resposta carrega erros de arredondamento, mas como os valores possíveis são bem distantes uns dos outros, podemos dizer que o mais próximo da resposta é a B

Answer 2

0,9 correto e corrigido