Question

Verifique se a inversa da matriz $\left[\begin{array}{ccc}a&c\\b&d\end{array}\right]$ pode ser escrita da forma $\frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]$

Answer 1

Olá

O calculo da matriz inversa é dado por $\frac{1}{Det.(A)}\cdot Adj(Cofator)$


Calculando o determinante de A

$\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]=(a\cdot d)-(b\cdot c) =ad-bc$


Calculando a matriz dos cofatores

$A11=(-1)^2\cdot\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]=1\cdot(d)=\boxed{d} \\ \\ \\ A12=(-1)^3\cdot\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]=-1\cdot(c)=\boxed{-c} \\ \\ \\ A21=(-1)^3\cdot \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]=-1\cdot(b)=\boxed{-b} \\ \\ \\ A22=(-1)^4\cdot \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]=1\cdot(a)=\boxed{a}$

A matriz dos cofatores fica sendo

$cof=\left[\begin{array}{ccc}d&-c\\-b&a\\\end{array}\right]$


Calculando a Adjunta da matriz dos cofatores

$Adj=\left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\\\end{array}\right]$


Agora é multiplicar por $\frac{1}{Det(A)}$

A inversa fica sendo

$\frac{1}{ad-bc}\cdot\left[\begin{array}{ccc}d&-b\\-c&a\\\end{array}\right]$


Então a resposta é sim, forma como ela está escrita está correta.