Question

Alguem pode me ajudar e para segunda feira, qualquer questão gente

Answer 1

11)

Soma das raízes de uma equação quadrática: S = -b/a
Produto das raízes de uma equação quadrática: P = c/a

$x^{2}-kx+\dfrac{k^{2}-5}{4}=0$

$a=1\\b=-k\\c=(k^{2}-5)/4$

Como a soma das raízes é igual ao produto:

$S=P\\-b/a=c/a\\-b=a\\-(-k)=(k^{2}-5)/4\\k=(k^{2}-5)/4\\4k=k^{2}-5\\0=k^{2}-5-4k\\k^{2}-4k-5=0$

Calculando as raízes dessa equação por soma e produto:

$S=-b/a\\S=-(-4)/1\\S=4\\\\P=c/a\\P=-5/1\\P=-5$

Raízes: 2 números que quando somados dão 4 e quando multiplicados dão -5

$k'=-1\\k''=5$

$\boxed{\boxed{S=\{-1,~5\}}}$

12)

$\dfrac{x-\frac{1}{2}}{x+2}=\dfrac{1}{x-4}\\\\\\\dfrac{\frac{2x}{2}-\frac{1}{2}}{x+2}=\dfrac{1}{x-4}\\\\\\\dfrac{\frac{2x-1}{2}}{x+2}=\dfrac{1}{x-4}\\\\\\\dfrac{2x-1}{2(x+2)}=\dfrac{1}{x-4}\\\\\\\dfrac{2x-1}{2x+4}=\dfrac{1}{x-4}$

Multiplicando em cruz:

$(2x-1)*(x-4)=2x+4\\2x^{2}-8x-x+4=2x+4\\2x^{2}-9x+4=2x+4\\2x^{2}-9x=2x\\2x^{2}-9x-2x=0\\2x^{2}-11x=0$

Colocando x em evidência:

$x(2x-11)=0$

Igualando ambos a zero:

$x=0\\\\2x-11=0\\2x=11\\x=11/2$

$\boxed{\boxed{S=\{0,~\dfrac{11}{2}\}}}$

13)

Números: x e y

$x*y=z$

O produto aumenta de 71 se trocarmos os fatores iniciais pelos consecutivos

Consecutivos de x e y: (x + 1) e (y + 1)

$(x+1)*(y+1)=z+71$

A diferença entre os números é 34:

$x-y=34$

Sistema:

$\begin{cases}xy=z\\(x+1)(y+1)=z+71\\x-y=34\end{cases}$

Manipulando a segunda equação:

$(x+1)(y+1)=z+71\\(x+1)(y+1)=xy+71\\xy+x+y+1=xy+71\\x+y+1=71\\x+y=71-1\\x+y=70$

$\begin{cases}x+y=70\\x-y=34\end{cases}$

Somando as equações:

$x+x+y-y=70+34\\2x=104\\x=104/2\\x=52$

$x+y=70\\52+y=70\\y=70-52\\y=18$

Números: 52 e 18

14)

$(x^{2}-2)^{2}=x^{2}+180\\(x^{2})^{2}-2*x^{2}*2+2^{2}=x^{2}+180\\(x^{2})^{2}-4x^{2}+4=x^{2}+180\\(x^{2})^{2}-4x^{2}+4-x^{2}-180=0\\(x^{2})^{2}-5x^{2}-176=0$

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-5)^{2}-4*1*(-176)\\\Delta=25+704\\\Delta=729$

$x^{2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}~~~\therefore~~~\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{729}}{2*1}~~~\therefore~~~\dfrac{5\pm27}{2}$

Calculando as raízes:

$(x')^{2}=(5+27)/2\\(x')^{2}=32/2\\(x')^{2}=16\\x'=\pm\sqrt{16}\\x'=\pm4$

$(x'')^{2}=(5-27)/2\\(x'')^{2}=-22/2\\(x'')^{2}=-11\\x''=\pm\sqrt{-11}$

Raiz quadrada de número negativo não pertence ao conjunto dos reais, vejo que o livro não aceitou as raízes complexas (i√11 e -i√11), logo vamos descartá-las

$\boxed{\boxed{S=\{-4,4\}}}$

Answer 2

11)
$x^{2} -kx+ \frac{ k^{2}-5 }{4}$

P=S
$\frac{c}{a}= \frac{-b}{a}$

$\frac{ k^{2}-5 }{4} =k$

$k^{2} -5=4k$

$k^{2} -4 k^{} -5=0$

Δ=16+20
Δ=36
√Δ=6

$k'= \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} =5$

$k"= \frac{4-6}{2} = \frac{-2}{2} =-1$

R= Os valores são 5 ou -1

12)

$\frac{x- \frac{1}{2} }{x+2} = \frac{1}{x-4}$

$\frac{2x-1}{2} : x^{} +2= \frac{1}{x-4}$

$\frac{2x-1}{2} . \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x-4}$

$\frac{2x-1}{2(x+2)} = \frac{1}{x-4}$

$(2 x^{} -1)(x-4)=2(x+2)$

$2 x^{2} -8x-x+4=2x+4$

$2 x^{2} -8x-x-2x+4-4=0$

$2 x^{2} -11x=0$

$x^{} (2x-11)=0$

$x^{'} =0$

$2 x^{"} -11=0$

$x^{"} = \frac{11}{2}$

R= 0 e$\frac{11}{2}$

13)
1°)xy+71=(x+1)(y+1)
   xy+71=xy+x+y+1
xy-xy-x-y=1-71
     -x-y=-70
     x+y=70

$\left \{ {{x+y=70} \atop {x-y=34}} \right.$

adição
$2 x^{} =104$

$x^{} = \frac{104}{2}$

x=52

como  x+y=70
           52+y=70
               y=70-52

               y=18

R= Os n° são 18 e 52

14)
$( x^{2} -2) ^{2} = x^{2} +180$

$x^{4} -4 x^{2} +4- x^{2} -180=0$

$x^{4} -5 x^{2} -176=0$

$x^{2} =y$

$y^{2} -5y-176=0$

Δ=25+704
Δ=729
√Δ=27

$y'= \frac{5+27}{2} = \frac{32}{2} =16$

$y"= \frac{5-27}{2} = \frac{-22}{2} =-11$

como  $x^{2} =y$

$x^{2} =16$

$x^{} = \sqrt{16}$

$x^{'} =4$

$x^{"} =-4$

$x^{2} =-11$

$x^{} = \sqrt{-11}$∉ R

S={-4,4}