Question

qual deve ser o valor de n para que o número A=63×10elevado a n admita 54 divisores?

Answer 1

A = 63*10^n

Primeiro, como achar o número de divisores de um número?

Vamos pegar o número 12

Os números primos que compõem o 12 são
12 = 2².3¹
Esses números expoentes (² e ¹)
Na verdade podem varia de 0 até seus números, por exemplo
1 = 2^0.3^0 
2 = 2¹.3^0
e etc, percebe?
Então o número de divisores será sempre o produto dos número em cima do expoente + 1
Nesse caso Número de divisores = (2+1).(1+1) = 6 (Esses 6 divisores são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12)

Agora indo para seu problema

A = 63*10^n
Primeiro, temos que decompor em primos
63 = 7*3²
10 = 5.2

Ou seja, seu número tem esse formato em primos
A = 7¹.3².5^n.2^n

Para calcular o número de divisores temos que
N = (1+1).(2+1).(n+1).(n+1) = 54
2.3.(n²+n+1)=54
n²+2n+1 = 9
n²+2n-8 = 0

Aplicando báskhara, chega-se a:
n = -4 ou n = 2 

Como n não pode ser negativo
n=2

Qualquer dúvida, pode perguntar