Question

O valor de log(10¹.10².104.108...10512) é:

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor da seguinte expressão logarítmica, que vamos chamá-la de um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = log₁₀ (10¹ * 10² * 10⁴ * 10⁸ * ... * 10⁵¹²) ------ note: colocamos "base 10" porque quando uma expressão logarítmica omite a base subentende-se que ela seja "10".

Agora veja: vamos transformar essa soma em produto, com o que ficaremos assim:

y = log₁₀ (10¹) + log₁₀ (10²) + log₁₀ (10⁴) + log₁₀ (10⁸) + ... + log₁₀ (10⁵¹²) ---- passando cada expoente multiplicando o seu respectivo log, ficaremos:

y = 1log₁₀ (10) + 2log₁₀ (10) + 4log₁₀ (10) + 8log₁₀ (10) + ... + 512log₁₀ (10)

Agora veja: como log₁₀ (10) = 1, então ficaremos da seguinte forma:

y = 1*1 + 2*1 + 4*1 + 8*1 + ... + 512*1
y = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 512

Agora note: temos aí na expressão "y" a soma dos termos de uma PG, cujo primeiro termo é igual a "1" e cuja razão é igual a "2", pois: 8/4 = 4/2 = 2/1 = 2.
Antes vamos ver quantos termos tem essa PG, utilizando-se, para isso, a fórmula do termo geral de uma PG, que é dada assim:

an = a₁*qⁿ⁻¹

Substituindo-se "an" por "512", substituindo-se "a₁" por "1" e substituindo-se "q" por "2", teremos:

512 = 1*2ⁿ⁻¹ ---- ou apenas:
512 = 2ⁿ⁻¹ ------- vamos apenas inverter, ficando:
2ⁿ⁻¹ = 512 ----- veja que 512 = 2⁹ . Logo:
2ⁿ⁻¹ = 2⁹ ----- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:

n - 1 = 9
n = 9 + 1
n = 10 <--- Este será o número de termos da nossa PG.

Agora note que a soma dos termos de uma PG é dada por:

Sn = a₁*[qⁿ - 1]/(q-1)

Na fórmula acima substituiremos "Sn" por "S₁₀", pois já vimos que a PG tem 10 termos. Substituiremos "a₁" por "1" (que é o valor do primeiro termo). Substituiremos "q" por "2", que é o valor da razão da PG. E, finalmente, substituiremos "n" por "10", que é o número de termos da PG. Assim:

S₁₀ = 1*[2¹⁰ - 1]/(2-1) ----- atente que 2¹⁰ =1.024. Logo:
S₁₀ = 1*[1.024 - 1]/1 ---ou apenas:
S₁₀ = [1.024 - 1] ----- ou apenas:
S₁₀ = 1.023 <--- Esta é a resposta. Esta é a soma pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.