Question

Determine o domínio das funções:
'            _____________
a) y = √(0,5)ˣ⁻⁵ˣ - (0,5)⁻⁶
'            ________
b) y = √(1/2)³ˣ - 4
'            ________
c) y = √(1/81) -3⁻ˣ

Answer 1

Como se trata de uma raiz quadrada, então o valor dentro da raiz deve ser ≥ 0, pois em R não existe raiz quadrada de número negativo.

Três observações devem ser feitas quando trabalhamos com inequações exponenciais:

1) Quando multiplicamos os membros de uma inequação por  -1, então o sinal de desigualdade deve ser invertido. Se tivermos por exemplo, "- x > 3" e multiplicarmos por -1, então a inequação passa a ser "x < - 3"

2) Seja   $a^{x}\ \textgreater \ a^{b}$, se a > 1, então o sinal de desigualdade permanece inalterado e fazemos apenas x > b.

3) Seja   $a^{x}\ \textgreater \ a^{b}$, se 0 < a < 1, então o sinal de desigualdade deve ser invertido e fazemos x < b.


a)
$y=\sqrt{(0,5)^{x-5x}-(0,5)^{-6}}\\ \\ \\ (0,5)^{-4x}-(0,5)^{-6} \geq 0\\ \\ \\ (0,5)^{-4x}\geq (0,5)^{-6}$

Como 0 < 0,5 < 1, então devemos inverter o sinal de desigualdade; porém quando multiplicarmos a inequação por -1 teremos de invertê-lo novamente:

$(0,5)^{-4x}\geq (0,5)^{-6}\\ \\ \\ -4x \leq -6\ \ \ \times (-1)\\ \\ \\ 4x \geq 6\Rightarrow x \geq \dfrac{6}{4}\Rightarrow x \geq \dfrac{3}{2}$

Portanto, D(f) = { x ∈ R | x ≥ 3/2 }

b)
$y=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3x}-4}\\ \\ \\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3x}-4 \geq 0\\ \\ \\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3x}\geq 4 \\ \\ \\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3x}\geq 2^{2} \\ \\ \\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3x}\geq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$


Como 0 < 1/2 < 1, então devemos inverter o sinal de desigualdade:

$3x \leq -2\Rightarrow x \leq -\dfrac{2}{3}$


Portanto, D(f) = { x ∈ R | x ≤ -2/3 }


c)
$y=\sqrt{\dfrac{1}{81}-3^{-x}}\\ \\ \\ \dfrac{1}{81}-3^{-x} \geq 0\ \Rightarrow\ -3^{-x} \geq -\dfrac{1}{81}\ \Rightarrow -\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} \geq -\dfrac{1}{3^{4}}\Rightarrow\\ \\ \\ \\ -\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} \geq -\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4} \ \ \ \times (-1)\ \Rightarrow \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} \leq \left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}\Rightarrow x \geq 4$


Portanto, D(f) = { x ∈ R | x ≥ 4}