Question

-considerando que a função f definida por:
f(x)= 2x+1
_____ admita inversa,determine:
x+9

a)f-¹(x)
b)D(f)
c)D(f-¹)
d)Im(f)
e)Im(f-¹)
f)(fof-¹)(x)

Answer 1

$f(x)= \dfrac{2x+1}{x+9}$

Determinação da função inversa de $f(x)$:

$y= \dfrac{2x+1}{x+9}$

Trocando $x$ com $y$: $x= \dfrac{2y+1}{y+9}$

$x.(y+9)=2y+1$

$xy+9x=2y+1$

$xy-2y=1-9x$

$y.(x-2)=1-9x$

a) $y= f^{-1}(x)= \dfrac{1-9x}{x-2}$ → função inversa

b) D(f) = {x ∈ R | x ≠ - 9}

c) D(f⁻¹) = {x ∈ R | x ≠ 2}

d) Im (f) = {y ∈ R | y ≠ 2}

e) Im(f⁻¹) = {y ∈ R | y ≠ - 9}

f) (fof-¹)(x) = f(f⁻¹(x)) = $\dfrac{2.(\frac{1-9x}{x-2})+1}{\frac{1-9x}{x-2}+9}=\dfrac{\frac{2-18x}{x-2}+1}{\frac{1-9x}{x-2}+9}=\dfrac{\frac{2-18x+x-2}{x-2}}{\frac{1-9x+9x-18}{x-2}}=\dfrac{\frac{-17x}{x-2}}{\frac{-17}{x-2}}=\dfrac{-17x}{x-2}. \dfrac{x-2}{-17} =x$, para x≠2

Answer 2

A função inversa é f⁻¹(x) = (1 - 9x)/(x - 2); O domínio de f é Dom(f) = IR - {-9}; O domínio de f⁻¹ é Dom(f⁻¹) = IR - {2}; A imagem de f é Im(f) = IR - {2}; A imagem de f⁻¹ é Im(f⁻¹) = IR - {9}; A função composta (fof⁻¹)(x) é x.

a) Para determinar a função inversa, devemos substituir a incógnita x pela incógnita y e vice-versa.

Sendo assim, temos que:

y = (2x + 1)/(x + 9)

x = (2y + 1)/(y + 9).

Devemos isolar a incógnita y:

x(y + 9) = 2y + 1

xy + 9x = 2y + 1

xy - 2y = 1 - 9x

y(x - 2) = 1 - 9x

y = (1 - 9x)/(x - 2).

Portanto, podemos afirmar que a função inversa é f⁻¹(x) = (1 - 9x)/(x - 2).

b) Como f possui a variável no denominador e sabemos que não existe divisão por zero, então:

x + 9 ≠ 0

x ≠ -9.

Logo, o domínio de f é Dom(f) = IR - {-9}.

c) Da mesma forma, temos que o domínio da função inversa f⁻¹(x) é:

x - 2 ≠ 0

x ≠ 2 ∴ Dom(f⁻¹) = IR - {2}.

d) A imagem da função f será igual ao domínio da sua inversa. Logo, Im(f) = IR - {2}.

e) A imagem da função inversa será igual ao domínio da função f. Logo, Im(f⁻¹) = IR - {9}.

f) Vamos substituir a função inversa nas incógnitas x da função f. Assim, temos que a função composta f(f⁻¹(x)) é igual a:

$f(f^{-1}(x))=\frac{2(\frac{1-9x}{x-2})+1}{\frac{1-9x}{x-2}+9}$

$f(f^{-1}(x))=\frac{\frac{2-18x}{x-2}+1}{\frac{1-9x+9x-18}{x-2}}$

$f(f^{-1}(x))=\frac{\frac{2-18x+x-2}{x-2}}{\frac{1-9x+9x-18}{x-2}}$

$f(f^{-1}(x))=\frac{-17x}{-17}$

f(f⁻¹(x)) = x.

Para mais informações sobre função composta: https://brainly.com.br/tarefa/203670