Question

Considere um triângulo de vértices A(0, 4), B(2, 5) e C(4, 2). Determine a equação reduzida da mediatriz (r) referente ao lado AB, ou seja, a equação da reta perpendicular ao lado AB que passa pelo seu ponto médio.

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se pra determinar a equação reduzida da reta "r", que será a mediatriz referente ao lado AB, sabendo-se que o triângulo ABC tem os seguintes vértices:

A(0; 4)
B(2; 5)
C(4; 2)

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Primeiro vamos encontrar a equação da reta que passa nos lados A(0; 4) e B(2; 5).

i.a) Encontrando o coeficiente angular (m₁) da reta AB. Para isso, faremos:

m₁ = (5-4)/(0-2)
m₁ = (1)/(-2)
m₁ = - 1/2  <---- Este é o coeficiente angular da reta que passa em A e B.

i.b) Agora vamos encontrar o ponto médio "Mab" do lado A(0; 4) e B(2; 5). Assim:

Mab[(0+2)/2; (4+5)/2]
Mab[(2/2); (9/2)]
Mab(1; 9/2) <---- Este é o ponto médio "Mab" do segmento AB.

i.c) Agora vamos encontrar qual é a equação reduzida da mediatriz relativa ao segmento AB. Veja: como a mediatriz ao segmento AB passa no ponto médio Mab(1; 9/2) e é perpendicular à reta que passa em A e B, e considerando que o coeficiente angular da reta que passa em AB é igual a "-1/2" (m₁ = -1/2), então já sabemos que o produto do coeficiente angular da mediatriz (m₂) dará resultado igual a "-1", pois as retas são perpendiculares Então:

m₁*m₂ = - 1 ----- substituindo-se "m₁" por "-1/2", teremos:
(-1/2)*m₂ = - 1
m₂ = -1/(-1/2) --- ou, o que é a mesma coisa (menos com menos dá mais):
m₂ = 1/(1/2) ----- agora note que 1/(1/2) = 2. Logo:
m₂ = 2 <--- Este é o coeficiente angular da mediatriz que passará no ponto médio de AB, e que será Mab(1; 9/2).

i.d) Finalmente, vamos encontrar a equação reduzida da reta que passa no ponto médio de AB, que é Mab(1; 9/2) e que tem coeficiente angular igual a "2" (m₂ = 2). Assim, utilizando-se a fórmula:

y - y₀ = m*(x-x₀) , teremos:

y - 9/2 = 2*(x-1)
y - 9/2 = 2x - 2 ----- mmc no 1º membro = 2. Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos:

(2*y - 1*9)/2 = 2x - 2
(2y - 9)/2 = 2x - 2 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
2y - 9 = 2*(2x-2)
2y - 9 = 4x - 4 ----- passando "-9" para o 2º membro, teremos:
2y = 4x - 4 + 9
2y = 4x + 5
y = (4x + 5)/2 ---- dividindo-se cada fator por "2", teremos:
y = 4x/2 + 5/2
y = 2x + 5/2 <--- Esta é a resposta. Esta é a equação reduzida pedida da mediatriz relativa ao lado AB. Ou seja, se não houve nenhum engano de cálculo então a equação pedida é a que demos aí em cima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.