Question

$\begin{array}{l}\mathsf{Dado~que~cos~x=\dfrac{2}{5}~~~e~~~\dfrac{3\pi}{2}\ \textless \ x\ \textless \ 2\pi,~obter~o~valor~de}\\\\\\\large\fbox{ \mathsf{y=(1+tg^2x)^2+(1-tg^2x)^2} }\end{array}$


*Trigonometria, relações fundamentais*

Answer 1

Olá, tudo bem? Apenas lembrando que, sendo "x" um valor do quarto quadrante, os valores, tanto do sen(x), quanto da tg(x) serão negativos; assim:

1)Vamos aplicar a relação fundamental e encontrar o valor do sen(x):

$sen^{2}(x)+\left( \dfrac{2}{5} \right)^{2}=1\rightarrow sen^{2}(x)= 1-\dfrac{4}{25}\rightarrow sen^{2}(x)= \dfrac{21}{25}\rightarrow\\\\\boxed{sen(x)=-\dfrac{\sqrt{21}}{5}}$

2)Vamos calcular a tg(x) pela relação: tg(x) = sen(x)/cos(x):

$tg(x)=\dfrac{sen(x)}{cos(x)}\rightarrow tg(x)=\dfrac{-\frac{\sqrt{21}}{\not5}}{\frac{2}{\not5}}\rightarrow \boxed{tg(x)=-\dfrac{\sqrt{21}}{2}}$

3)Finalmente, vamos aplicar o valor da tg(x), diretamente na expressão dada e encontrar o valor de "y":

$\mathtt{y=(1+tg^{2}x)^{2}+(1-tg^{2}x)^{2}\rightarrow y=(1+\frac{21}{4})^{2}+(1-\frac{21}{4})^{2}}}\rightarrow \\\\ y=(\frac{25}{4})^{2}+(-\frac{17}{4})^{2}\rightarrow y=\dfrac{625}{16}+\dfrac{289}{16}\rightarrow y=\dfrac{914}{16}\rightarrow \\\\\boxed{y=\dfrac{457}{8}}~~\text{(resposta final)}$

Qualquer dúvida, por favor, é só me comunicar, ok? Muito Agradecido!!