Question

PROGRESSÃO ARITIMÉTICA
A soma do primeiro e
quinto termos de uma PA
é 26 e o produto do
segundo e quarto é 160.
Calcula a soma dos
primeiros seis termos.

Answer 1

E aí mano,

podemos expressar a P.A. da seguinte forma:

$a_1+a_5=26~~(I)\\ a_2*a_4=160~~(II)\\\\ a_1+(a_1+4r)=26~~(I)\\ (a_1+r)*(a_1+3r)=160~~(II)\\\\ 2a_1+4r=26~\to~2a_1=26-4r~\to~a_1= \dfrac{26-4r}{2}~\to~a_1=13-2r(I)\\\\ Substituindo,~(I)~em~(II),~teremos:\\\\ (13-2r+r)*(13-2r+3r)=160\\ (13-r)*(13+r)=160\\ 169-r^2=160\\ -r^2=160-169\\ -r^2=-9~~*~~(-1)\\ r^2=9\\ r=\pm \sqrt{9}\\ r=\pm3$

Sabendo-se que a razão vale + ou - 3, podemos achar o 1º inserindo-a em uma das equações, vamos pela equação I:

$para~r=3:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~para~r=-3:\\\\ 2a_1+4r=26~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2a_1+4r=26\\ 2a_1+4*3=26~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2a_1+4*(-3)=26\\ 2a_1+12=26~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2a_1-12=26\\ 2a_1=26-12~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2a_1=26+12\\ 2a_1=14~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2a_1=38\\\\ a_1= \dfrac{14}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a_1= \dfrac{38}{2} \\\\ a_1=7~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~a_1=19$

Para r=3 e primeiro termo 7, podemos encontrar a soma dos 6 primeiros termos:

$S_n= \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\\\\ S_{6}= \dfrac{(7+a_6)*6}{2}\\\\ S_6= (7+a_1*5r)*3~~~~~~~~~~~~S_6=(19+a_1*5r)*3\\ S_6=(7+7*5*3)*3~~~~~~~~~~S_6=(19+19*5*(-3))*3\\ S_6=(7+105)*3~~~~~~~~~~~~~~~S_6=(19+(-285))*3\\ S_6=112*3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S_6=(-266)*3\\\\ \boxed{S_6=336}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{S_6=-798}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))