Question

Uma piscina tem o formato de um polígono regular cuja medida do ângulo interno é três vezes e meia a medida do ângulo externo. qual é a soma dos ângulos internos do poligono cuja forma é igual á dessa piscina?a) 1.800b) 1.620c) 1.440d) 1.260e) 1.080

Answer 1

Olá, bom dia. Essa foi divertida de fazer. Deu para revisar bem esse conteúdo de ângulos internos e externos.

Há duas maneiras de resolver. Você pode utilizar o raciocínio geométrico e desenhar os polígonos regulares para ir comparando as medidas de seus ângulos internos e externos. Ou também pode utilizar o raciocínio algébrico e resolver por fórmulas. Gostei das duas. Pode escolher. A primeira é mais simples de fazer, não requer muita elaboração mental. A segunda tem que pensar um pouco...

Fazendo pelo raciocínio algébrico, teremos que encontrar alguns valores:
$\alpha = ângulo interno [tex] \beta$ = ângulo externo
N = número de lados do polígono
T = número de triângulos do polígono

Para sabermos qual é o ângulo interno dos polígonos regulares, podemos usar a estratégia de dividi-los em triângulos. Desenhe!
triângulo = 3 lados = 1 triângulo
quadrado = 4 lados = 2 triângulos
pentágono = 5 lados = 3 triângulos
hexágono = 6 lados = 4 triângulos
...
então, a quantidade de triângulos no polígono é o número de lados menos dois: T = N-2


A medida do ângulo interno de todo triângulo é 180°. Então a medida dos ângulos internos dos polígonos regulares será a quantidade de triângulos que eles têm vezes 180°, dividida pelo número de lados do polígono.
$\alpha = \frac{T*180}{N} = \frac{(N-2)*180}{N}$

A medida do ângulo externo dos polígonos é 180° menos a medida dos ângulos internos.
$\beta = 180- \alpha$

Pronto, agora só falta montar a equação relativa à forma da piscina.
Seus ângulos internos têm 3 vezes e meia a medida de seus ângulos externos.
$\alpha =(3+ \frac{1}{2} ) \beta \\ \\ \alpha = \frac{7}{2} \beta \\ \\ \alpha = \frac{7}{2} (180- \alpha ) \\ \\ \alpha =630- \frac{7 \alpha }{2} \\ \\ \alpha + \frac{7 \alpha }{2} =630 \\ \\ \frac{9 \alpha }{2} =630 \\ \\ 9 \alpha =630*2 \\ \\ 9 \alpha =1260 \\ \\ \alpha = \frac{1260}{4} \\ \\ \alpha =140$

Então 140° é a medida dos ângulos internos da piscina. Mas que polígono é sua forma?

$\alpha = \frac{(N-2)*180}{N} \\ \\ 140 = \frac{180N-360}{N} \\ \\ 140N=180N-360 \\ \\ 40N=360 \\ \\ N= \frac{360}{40} \\ \\ N=9$

Ah... é um eneágono, uma figura de 9 lados...
E qual é a soma interna dos ângulos de um eneágono?
Há duas maneiras de responder:

S= soma dos ângulos internos

S é a medida dos ângulos internos vezes o número de lados do polígono
$\alpha =140 \\ N=9$
$S= \alpha *N=140*9=1260$

S é o número de triângulos do polígono vezes 180º, que é a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo.
$S=T*180 \\ S=(N-2)*180 \\ S=(9-2)*180 \\ S=7*180 \\ S=1260$

Taí. :)
Deu trabalho, mas foi legal. Se não quiser tanto raciocínio assim, experimente ir pelo método do desenho. Sem você saber que se tratava de um eneágono, ia por tentativa a partir do triângulo, quadrado, pentágono, comparando as medidas de seus ângulos internos e externos. Esse também é um bom treinamento.

Abraços, e até a próxima. :)