Question

Dados três pontos A , B , C , sobre uma mesma reta consideremos M e N os pontos médios dos segmentos AB e BC ( onde esses segmentos representam segmentos de reta ) . Demonstre que MN ( segmento de reta ) é igual à semissoma ou à semidiferença dos segmentos AB e BC.

Answer 1

Olá Ludeen, boa noite!
 
 Tomando o ponto B entre os pontos A e C, conseguimos demonstrar que:
 
$\mathsf{\overline{MN} = \frac{\overline{AB} + \overline{BC}}{2}}$
 
 TODAVIA, a semi-diferença é demonstrada considerando o ponto C entre A e B, e, não mais o ponto B entre os outros pontos. Desse modo, temos:

____A____________M___C____N____B___ 
 
 
 Do segmento AB, temos que: $\mathsf{\overline{AM} + \overline{MB} = \overline{AB}, \ onde \ \overline{AM} = \overline{MB}}$.

Do segmento BC, temos que: $\mathsf{\overline{CN} + \overline{NB} = \overline{CB}, \ onde \ \overline{CN} = \overline{NB}}$.

 Isto posto, ficamos com:

$\begin{cases} \mathsf{\overline{AM} + \overline{MB} = \overline{AB} \qquad (i)} \\ \mathsf{\overline{CN} + \overline{NB} = \overline{CB} \qquad \ (ii)} \end{cases}$
 
 Da equação $\mathsf{(i)}$,

$\\ \mathsf{\overline{AM} + \overline{MB} = \overline{AB}} \\\\ \mathsf{\overline{MB} + \overline{MB} = \overline{AB}} \\\\ \mathsf{(\overline{MC} + \overline{CN} + \overline{NB}) + (\overline{MC} + \overline{CN} + \overline{NB}) = \overline{AB}} \\\\ \mathsf{2 \cdot \overline{MC} + 2 \cdot \overline{CN} + (\overline{NB} + \overline{NB}) = \overline{AB}}$

$\\ \mathsf{2 \cdot (\overline{MC} + \overline{CN}) + (\overline{CN} + \overline{NB}) = \overline{AB}} \\\\ \mathsf{2 \cdot \overline{MN} + \overline{CB} = \overline{AB}} \\\\ \mathsf{2 \cdot \overline{MN} = \overline{AB} - \overline{CB}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\overline{MN} = \frac{\overline{AB} - \overline{CB}}{2}}}} \\\\\\ \qquad \qquad \textsf{C.Q.D}$