Question

Num triangulo isósceles ABC, o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos da base é o quintoplo do ângulo do vértice. Determine a medida do ângulo do vértice.

Answer 1

Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais, logo o triângulo formado pelas bissetrizes da base irá formar outro triângulo isósceles.
- Vamos chamar os ângulos da base de x e o ângulo do vértice de y.
- Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
TRIÂNGULO 1:
2x + y = 180º
TRIÂNGULO 2:
2(x/2) + 5y = 180º ==>> resolvendo o sistema
.............
2x + y = 180º =====>> 2x + y = 180======>>     2x +    y =  180 
2(x/2) + 5y = 180º ==>> x + 5y = 180 (-2) ==>>   -2x -10y = -360 
                                                                              -9y = -180 => y = 20º 
O ângulo do vértice mede 20º.

Answer 2

 Observe o gráfico anexo. O esboço é bem parecido. Você só deve desconsiderar esse y, no desenho da imagem, ok?
Vamos lá:
...> Chamando o ângulo B de 2a e o ângulo C de 2a (o triângulo é isósceles, então, os ângulos da base são iguais)
....> Onde tem x, no desenho, chamaremos de 5x e o ângulo  vamos chamar de x, ok ?? ( x e 5x, pois um é o quíntuplo do outro)
....> traçando as bissetrizes em B e C, teremos o triângulo B'XC'.
....> Como B = 2a, B' = 2a/2 = a (bissetriz)
....> Como C = 2a, C' = 2a/2 = a (bissetriz)
A partir daí temos um pequeno triângulo. Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º.
.....> Do Δ ABC, temos:
2a + 2a + x = 180º
4a + x = 180º
x = 180º - 4a

.....> Do ΔB'XC', temos:
a +a + 5x = 180º
.....> substituindo x:
2a + 5(180º - 4a) = 180º
2a + 900 - 20a = 180
-18a = 180 - 900
-18a = -720 .(-1)
18a = 720
a = 720/18
a = 40º

Escolhe uma das duas igualdades acima e substitui o valor de a, para encontrar x:
4a + x = 180º
4 . 40 + x = 180
160 + x = 180
x = 180 - 160
x = 20º

R: O ângulo do vértice vale 20º

Abraços.