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Vamos lá.
Veja, Bruninha, que a resolução é simples.
Pede-se para resolver a seguinte expressão logarítmica:
log₅ [(x+3)*(x-1)] = 1
Antes de iniciar, veja que só há logaritmos de números positivos (>0). Dessa forma deveremos impor que o logaritmando "(x+3)*(x-1)" seja maior do que zero. Então deveremos impor isto como condição de existência da expressão logarítmica dada:
(x+3)*(x-1) > 0
Veja que temos aí em cima uma inequação-produto formada pelo produto de duas equações do 1º grau. Temos f(x) = x+3 e temos g(x) = x-1.
Vamos encontrar as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais e, assim, daremos as condições de existência da expressão logarítmica toda.
Assim:
f(x) = x + 3 ---> raízes: x+3 = 0 ---> x = - 3
g(x) = x-1 ---> raízes: x-1 = 0 ---> x = 1.
Agora vamos encontrar a variação de sinais de cada uma das equações acima, em função de suas raízes. Logo:
a) f(x) = x + 3 .... - - - - - - - - - - - (-3) + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x - 1 .... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + +
c) a*b . . . . . . . .. + + + + + + + +(-3)- - - - - - - - - (1)+ + + + + + + + +
Como queremos que f(x)*g(x) seja MAIOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos dá o produto de f(x) por g(x). Assim, os intervalos em que "x" deverá assumir valores são em:
x < -3, ou x > 1 ------- Estas são as condições de existência da expressão da sua questão.
Agora que já vimos quais são as condições de existência, vamos resolver a questão, que é esta:
log₅ [(x+3)*(x-1)] = 1 ----- aplicando-se a definição de logaritmos, note que isto é a mesma coisa que:
5¹ = (x+3)*(x-1) ----- desenvolvendo, teremos;
5 = x² + 2x - 3 ---- passando "5" para o 2º membro, teremos:
0 = x² + 2x - 3 - 5
0 = x² + 2x - 8 --- ou, invertendo-se:
x² + 2x - 8 = 0 ------ se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:
x' = - 4
x'' = 2
Agora note: tanto o "-4" como o "2" estão dentro das condições de existência, ou seja, estão dentro dos intervalos em que "x" poderá assumir valores (veja que as condições de existência eram que: x < -3 ou x > 1) .
Assim, a resposta será:
x = - 4 ou x = 2 <---- Esta é a resposta.
Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma:
S = {-4; 2}.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Bruninha, que a resolução é simples.
Pede-se para resolver a seguinte expressão logarítmica:
log₅ [(x+3)*(x-1)] = 1
Antes de iniciar, veja que só há logaritmos de números positivos (>0). Dessa forma deveremos impor que o logaritmando "(x+3)*(x-1)" seja maior do que zero. Então deveremos impor isto como condição de existência da expressão logarítmica dada:
(x+3)*(x-1) > 0
Veja que temos aí em cima uma inequação-produto formada pelo produto de duas equações do 1º grau. Temos f(x) = x+3 e temos g(x) = x-1.
Vamos encontrar as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais e, assim, daremos as condições de existência da expressão logarítmica toda.
Assim:
f(x) = x + 3 ---> raízes: x+3 = 0 ---> x = - 3
g(x) = x-1 ---> raízes: x-1 = 0 ---> x = 1.
Agora vamos encontrar a variação de sinais de cada uma das equações acima, em função de suas raízes. Logo:
a) f(x) = x + 3 .... - - - - - - - - - - - (-3) + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x - 1 .... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + +
c) a*b . . . . . . . .. + + + + + + + +(-3)- - - - - - - - - (1)+ + + + + + + + +
Como queremos que f(x)*g(x) seja MAIOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos dá o produto de f(x) por g(x). Assim, os intervalos em que "x" deverá assumir valores são em:
x < -3, ou x > 1 ------- Estas são as condições de existência da expressão da sua questão.
Agora que já vimos quais são as condições de existência, vamos resolver a questão, que é esta:
log₅ [(x+3)*(x-1)] = 1 ----- aplicando-se a definição de logaritmos, note que isto é a mesma coisa que:
5¹ = (x+3)*(x-1) ----- desenvolvendo, teremos;
5 = x² + 2x - 3 ---- passando "5" para o 2º membro, teremos:
0 = x² + 2x - 3 - 5
0 = x² + 2x - 8 --- ou, invertendo-se:
x² + 2x - 8 = 0 ------ se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:
x' = - 4
x'' = 2
Agora note: tanto o "-4" como o "2" estão dentro das condições de existência, ou seja, estão dentro dos intervalos em que "x" poderá assumir valores (veja que as condições de existência eram que: x < -3 ou x > 1) .
Assim, a resposta será:
x = - 4 ou x = 2 <---- Esta é a resposta.
Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma:
S = {-4; 2}.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
bruninha96:
muito obrigado pela resposta, eu já tinha feito o cálculo, mais queria tirar uma dúvida.... obrigado
respondido por:
0
A solução dessa expressão logarítmica é x = -4 e x = 2.
Logaritmos
Pela definição de logaritmo, sabemos que a base do logaritmo elevado ao resultado do mesmo é igual ao logaritmando, ou seja:
logₐ x = b
aᵇ = x
Pela expressão dada podemos escrever que:
(x + 3)(x - 1) = 5¹
Reescrevendo a forma de equação quadrática:
x² - x + 3x - 3 - 5 = 0
x² + 2x - 8 = 0
Calculando as raízes:
Δ = 2² - 4·1·9-8)
Δ = 36
x = [-2 ± √36]/2·1
x = [-2 ± 6]/2
x' = 2
x'' = -4
Conferindo o resultado:
log₅ (2 + 3)(2 - 1) = 1
log₅ 5·1 = 1
5¹ = 5
log₅ (-4 + 3)(-4 - 1) = 1
log₅ (-1)·(-5) = 1
5¹ = 5
Leia mais sobre logaritmos em:
https://brainly.com.br/tarefa/18944643
#SPJ2
Anexos:
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