• Matéria: Matemática
  • Autor: bruninha96
  • Perguntado 9 anos atrás

1) Resolva:

Log5 [(x+3)(x-1)]=1

Respostas

respondido por: adjemir
10
Vamos lá.

Veja, Bruninha, que a resolução é simples.

Pede-se para resolver a seguinte expressão logarítmica:

log₅ [(x+3)*(x-1)] = 1

Antes de iniciar, veja que só há logaritmos de números positivos (>0). Dessa forma deveremos impor que o logaritmando "(x+3)*(x-1)" seja maior do que zero. Então deveremos impor isto como condição de existência da expressão logarítmica dada:

(x+3)*(x-1) > 0

Veja que temos aí em cima uma inequação-produto formada pelo produto de duas equações do 1º grau. Temos f(x) = x+3 e temos g(x) = x-1.
Vamos encontrar as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais e, assim, daremos as condições de existência da expressão logarítmica toda.
Assim:
f(x) = x + 3 ---> raízes: x+3 = 0 ---> x = - 3
g(x) = x-1 ---> raízes: x-1 = 0 ---> x = 1.

Agora vamos encontrar a variação de sinais de cada uma das equações acima, em função de suas raízes. Logo:

a) f(x) = x + 3 .... - - - - - - - - - - - (-3) + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x - 1 .... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + +  
c) a*b . . . . . . . .. + + + + + + + +(-3)- - - - - - - - - (1)+ + + + + + + + +

Como queremos que f(x)*g(x) seja MAIOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos dá o produto de f(x) por g(x). Assim, os intervalos em que "x" deverá assumir valores são em:

x < -3,  ou x > 1 ------- Estas são as condições de existência da expressão da sua questão.

Agora que já vimos quais são as condições de existência, vamos resolver a questão, que é esta:

log₅ [(x+3)*(x-1)] = 1 ----- aplicando-se a definição de logaritmos, note que isto é a mesma coisa que:

5¹ = (x+3)*(x-1) ----- desenvolvendo, teremos;
5 = x² + 2x - 3 ---- passando "5" para o 2º membro, teremos:
0 = x² + 2x - 3 - 5
0 = x² + 2x - 8 --- ou, invertendo-se:
x² + 2x - 8 = 0 ------ se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = - 4
x'' = 2

Agora note: tanto o "-4" como o "2" estão dentro das condições de existência, ou seja, estão dentro dos intervalos em que "x" poderá assumir valores (veja que as condições de existência eram que: x < -3 ou x > 1) .

Assim, a resposta será:

x = - 4 ou x = 2 <---- Esta é a resposta.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma:

S = {-4; 2}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

bruninha96: muito obrigado pela resposta, eu já tinha feito o cálculo, mais queria tirar uma dúvida.... obrigado
adjemir: Disponha, Bruninha, e bastante sucesso pra você. Um abraço.
respondido por: andre19santos
0

A solução dessa expressão logarítmica é x = -4 e x = 2.

Logaritmos

Pela definição de logaritmo, sabemos que a base do logaritmo elevado ao resultado do mesmo é igual ao logaritmando, ou seja:

logₐ x = b

aᵇ = x

Pela expressão dada podemos escrever que:

(x + 3)(x - 1) = 5¹

Reescrevendo a forma de equação quadrática:

x² - x + 3x - 3 - 5 = 0

x² + 2x - 8 = 0

Calculando as raízes:

Δ = 2² - 4·1·9-8)

Δ = 36

x = [-2 ± √36]/2·1

x = [-2 ± 6]/2

x' = 2

x'' = -4

Conferindo o resultado:

log₅ (2 + 3)(2 - 1) = 1

log₅ 5·1 = 1

5¹ = 5

log₅ (-4 + 3)(-4 - 1) = 1

log₅ (-1)·(-5) = 1

5¹ = 5

Leia mais sobre logaritmos em:

https://brainly.com.br/tarefa/18944643

#SPJ2

Anexos:
Perguntas similares