• Matéria: Matemática
  • Autor: ChristianFaria
  • Perguntado 8 anos atrás

Poderiam responder por favor EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Anexos:

Respostas

respondido por: Danndrt
1
Essa é uma equação diferencial linear ordinária de primeira ordem. 

Podemos resolver pelo método das equações separáveis:

y' = y.ln(x)\\
 \frac{dy}{dx} = y.ln(x)\\
 \frac{\frac{dy}{dx}}{y} = ln(x)

Observe que \frac{\frac{dy}{dx}}{y} é a derivada de ln(y), pois \frac{\frac{dy}{dx}}{y} =  \frac{d(ln(y))}{dy}

Assim, teremos: \frac{d(ln(y))}{dy} = ln(x)

Integrando ambos os membros:

 \int {\frac{d(ln(y))}{dy} } \, = \int ln(x) dx \\  \\ ln(y) = \int ln(x) dx

Vamos encontrar a integral de ln(x), utilizando o método da integração por partes, fazendo as seguintes substituições:

u = ln(x) \\ du =  \frac{1}{x} dx =  \frac{dx}{x} \\ \\
dv = dx \\ v = \int dx \\
v = x

Substituindo:

ln(y) = \int ln(x) dx \\ ln(y) =u . v - \int v . du\\ln(y) =ln(x) . x - \int x .  \frac{dx}{x}\\
ln(y) =x.ln(x) - \int dx\\
ln(y) =ln(x^x) - x+C

Agora vamos encontrar uma solução do tipo y(x). Para isso, vamos isolar y:

ln(y) =ln(x^x) - x+C \\  \\ y=e^{(ln(x^x) - x+C)}\\
y =  \frac{e^{ln(x^x)}.e^C}{e^x}\\
y =  \frac{Cx^x}{e^x}

Podemos escrever, finalmente:

\boxed{\boxed{y(x) = \frac{Cx^x}{e^x}}}

ChristianFaria: Muito Obrigado, me ajudou muito a entender toda a resolução, muito obrigado mesmo.
Danndrt: imagina, fico feliz que tenha te ajudado :)
Perguntas similares