Question

Poderiam responder por favor EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Answer 1

Essa é uma equação diferencial linear ordinária de primeira ordem. 

Podemos resolver pelo método das equações separáveis:

$y' = y.ln(x)\\ \frac{dy}{dx} = y.ln(x)\\ \frac{\frac{dy}{dx}}{y} = ln(x)$

Observe que $\frac{\frac{dy}{dx}}{y}$ é a derivada de ln(y), pois $\frac{\frac{dy}{dx}}{y} = \frac{d(ln(y))}{dy}$

Assim, teremos: $\frac{d(ln(y))}{dy} = ln(x)$

Integrando ambos os membros:

$\int {\frac{d(ln(y))}{dy} } \, = \int ln(x) dx \\ \\ ln(y) = \int ln(x) dx$

Vamos encontrar a integral de ln(x), utilizando o método da integração por partes, fazendo as seguintes substituições:

$u = ln(x) \\ du = \frac{1}{x} dx = \frac{dx}{x} \\ \\ dv = dx \\ v = \int dx \\ v = x$

Substituindo:

$ln(y) = \int ln(x) dx \\ ln(y) =u . v - \int v . du\\ln(y) =ln(x) . x - \int x . \frac{dx}{x}\\ ln(y) =x.ln(x) - \int dx\\ ln(y) =ln(x^x) - x+C$

Agora vamos encontrar uma solução do tipo y(x). Para isso, vamos isolar y:

$ln(y) =ln(x^x) - x+C \\ \\ y=e^{(ln(x^x) - x+C)}\\ y = \frac{e^{ln(x^x)}.e^C}{e^x}\\ y = \frac{Cx^x}{e^x}$

Podemos escrever, finalmente:

$\boxed{\boxed{y(x) = \frac{Cx^x}{e^x}}}$