Question

a equação da reta tangente a curva y = (x+1).cos x, no ponto ponto de coordenadas (0,1) é

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Vito8ria, que se temos que f(x) = (x+1)*cos(x) , e queremos saber qual é a equação da reta tangente ao gráfico da função acima no ponto P(0; 1), então vamos, primeiro, saber qual é a primeira derivada da função dada.
Assim, derivando f(x) = (x+1)*cos(x), teremos;

f⁻¹(x) = cos(x) - (x+1)*sen(x) .

Agora, para encontrar qual é o coeficiente angular da reta tangente, vamos substituir "x" pela abscissa do ponto P(0; 1). Note que a abscissa é "0". Então, fazendo a devida substituição, teremos:

f⁻¹(0) = cos(0) - (x+1)*sen(0) ---- como cos(0) = 1 e sen(0) = 0, teremos:
f⁻¹(0) = 1 - (x+1)*0 ----- como qualquer coisa vezes zero é zero, então temos:
f⁻¹(0) = 1 - 0
f⁻¹(0) = 1 <---- Este é o coeficiente angular da reta tangente, ou seja, temos que o coeficiente angular da reta tangente é igual a "1" (m = 1).

Finalmente, agora vamos encontrar qual é a equação da reta que passa no ponto P(0; 1) e tem coeficiente angular igual a "1" (m = 1). Assim, aplicando a fórmula para encontrar a equação de uma reta quando já se conhece um ponto por onde ela passa (x₀; y₀) e o coeficiente angular (m), teremos isto:

y - y₀ = m*(x - x₀)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta tangente que tem coeficiente angular igual a "1" (m=1) e passa no ponto P(0; 1), será encontrada do seguinte modo:

y - 1 = 1*(x - 0)
y - 1 = 1*x - 1*0
y - 1 = x - 0 --- ou apenas:
y - 1 = x ---- passando-se "-1" para o 2º membro, teremos:

y = x + 1 <--- Esta é a equação reduzida da reta tangente à curva.

Se quiser a equação geral, então bastará colocar "y" para o 2º membro, com o que ficaremos assim:

0 = x - y + 1 --- ou, invertendo:
x - y + 1 = 0 <--- Esta é a equação geral da reta tangente à curva.

Você escolhe qual é a equação que quer apresentar (se a equação reduzida ou se a equação geral).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.