Question

Qual o valor de m, de modo que o quociente 3+mi/2-i=20 seja um número imaginário puro?

Answer 1

Para que tenhamos um número imaginário puro, cuja forma é Z= a + bi, a parte real a tem que ser nula. Assim, para calcularmos o valor de m para que a equação resulte num numero racional puro, temos que isolar a parte imaginária e igualá-la ao restante.

$\frac{3+mi}{2-i} =20\\\\ 3 + mi = 20 (2-i)\\\\ 3+ mi = 40 - 20i\\\\ mi + 20i = 40 -3\\\\ i (m + 20) = 37\\\\ i = \frac{37}{m+20}\\\\\sqrt{-1} = \frac{37}{m+20} \\\\ -1 = ( \frac{37}{m+20})^2\\\\ -1 = \frac{1369}{m^2+40m-400} \\\\ -m^2 -40m-400 = 1369\\\\ -m^2 - 40m -400 -1369 = 0\\\\ -m^2 -40m-1769=0\\\\ ---------\\\\ \Delta = b^2 - 4ac\\\\ \Delta = (-40)^2 - 4.-1.-1769\\\\ \Delta = 1600 - 7076\\\\ \Delta = -5476\\\\ --------------$

$m = \frac{-b +- \sqrt{\Delta} }{2a}\\\\ m = \frac{-(-40)+- \sqrt{-5476} }{2.-1}\\\\ m = \frac{40 +- 74i}{-2}\\\\ m= \frac{40 + 74i}{-2} \\\\ m = -20-37i\\\\ ---------\\\\ m' = \frac{40 - 74i}{-2}\\\\ m' = -20+37i$