Question

Um determinado triângulo retângulo tem sua hipotenusa representada por x+6, um de seus catetos por x+3 e o outro cateto por x. Determine as três dimensões desse triângulo

Answer 1

vamos usar teorema de pitagoras

x²+(x+3)²=(x+6)²

vamos calcular os produtos notaveis
x²+(x+3).(x+3)=(x+6).(x+6)
x²+x²+3x+3x+9=x²+6x+6x+36
2x²+6x+9=x²+12x+36     
(teremos que usar bhaskara, então iguale tudo a zero)
2x²+6x+9-x²-12x-36=0
x²-6x-27=0 
para calcular delta, faça
(-6)²-4.1.(-27)
36+108
Delta = 144
agora, para calcular x, faça
x=(6+-√Delta)/2
x=(6+-12)/2

serão dois resultados, vamos chamalos de x' e x''
para calcular x', faça
x'=(6+12)/2
x'=18/2
x'=9

e para calcular x'', faça
x''=(6-12)/2
x''=(-6)/2
x''=-3

x'=9  e  x''-3
como na geometria não usamos números negativos, usaremos apenas o x'

a hipotenusa será 9+6 = 15
cateto 1 será 9+3 = 12
e o cateto 2 será 9

Answer 2

Por se tratar de um triângulo retângulo usamos o Teorema de Pitágoras, que define: "a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa"

b² + c² = a²

Assim,

x² + (x + 3)² = (x + 6)²
x² + x² + 6x + 9 = x² + 12x + 36
x² + x² - x² + 6x - 12x + 9 - 36 = 0
x² - 6x - 27 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau com Bhaskara:

$x= \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a} \\ \\ \\ x= \dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot (-27)}}{2\cdot 1} \\ \\ \\ x= \dfrac{6\pm\sqrt{36+108}}{2} \Rightarrow x= \dfrac{6\pm\sqrt{144}}{2} \Rightarrow x= \dfrac{6\pm 12}{2} \Rightarrow x= \dfrac{\not 6\pm \not 12}{\not 2}\\ \\ \\ x=3\pm 6 \Rightarrow x_{1}=3+6=9 \ \ \ e \ \ \ x_{2}= 3 - 6 = -3$


Assim, os lados do triângulo são:

Para x = 9:

cateto a = x = 9
cateto b = (x + 3) = 9 + 3 = 12
hipotenusa = (x + 6) = 9 + 6 = 15


Para x = -3
cateto a = x = -3

Como a medida de um lado do triângulo não pode ser negativa, logo desconsideramos a solução para x = - 3