Question

a aresta da base de uma piramide regular quadrangular mede 5 cm e sua altura 4 cm.
calcular apotema da base; apotema piramide; area lateral; area total.

Answer 1

A aresta lateral, a altura e a metade da diagonal do quadrado formam um triângulo retângulo, onde a hipotenusa é a aresta lateral.

$5^2=4^2+x^2\\\\ 25=16+x^2\\\\ x^2=25-16\\\\ x^2=9\\\\ \boxed{x=3\ cm}$

Esse valor é a metade da diagonal do quadrado.

$\boxed{d = a\sqrt{2}}\\\\ 6 = a\sqrt{2}\\\\ a = \frac{6}{\sqrt{2}}\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\ \frac{6\sqrt{2}}{2}\\\\ \boxed{a=3\sqrt{2}\ cm}$

Esse é o valor do apótema da base.

O apótema da pirâmide, metade do apótema da base e a altura forma um triângulo retângulo, onde a hipotenusa é o apótema da pirâmide.

$A^2 = 4^2+(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2\\\\ A^2=16+\frac{9}{2}\\\\ A^2=\frac{41}{2}\\\\ A = \sqrt{\frac{41}{2}}\\\\ \boxed{A=\frac{\sqrt{82}}{2}}$

$A_l = 4A_f\\\\ A_l = 4(3\sqrt{2}*\frac{\sqrt{82}}{2})\\\\ \boxed{A_l = 12\sqrt{41}\ cm^2}$

$A_b= l^2\\\\ A_b=(3\sqrt{2})^2\\\\ \boxed{A_b=18\ cm^2}$

$A_t=A_b+A_l\\\\ A_t=18+12\sqrt{41}\\\\ \boxed{A_t = 6(3+2\sqrt{41})\ cm^2}$