Question

o produto misto entre os vetores u = ( 1, 2, 3 ), v = ( 2, 5, 0 ) e w = ( -2, 0, 2 ) é igual a

Answer 1

Olá

Há 2 maneiras de calcular o produto misto

1º forma
(u^v).w          calcula u vetorial v e depois faz o escalar com o vetor w

2ºforma - Monta uma matriz com os elementos dos vetores u,v,w e o determinante será o resultado do produto misto.


Irei fazer pelo 2º metodo, pois é bem mais simples e rápido


1         2         3         1         2
2         5         0         2         5
-2        0         2        -2         0

(10 + 0 + 0) - (8 + 0 - 30)
(10) -  (-22)
10 + 22
32

Produto misto = 32
 

Answer 2

✅ Após realizarmos os cálculos, concluímos que o valor do produto misto entre os referidos vetores é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\large[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\large] = 32 \end{gathered}$

Dados os vetores:

                 $\Large\begin{cases}\vec{u} = (1, 2, 3)\\\vec{v} = (2, 5, 0)\\\vec{w} = (-2, 0, 2) \end{cases}$

O seu produto misto poderá ser calculado pela seguinte fórmula:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right] = \vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = \begin{vmatrix}x_{\vec{u}} & y_{\vec{u}} & z_{\vec{u}}\\x_{\vec{v}} & y_{\vec{v}} & z_{\vec{v}}\\x_{\vec{w}} & y_{\vec{w}} & z_{\vec{w}} \end{vmatrix}\end{gathered} }$

Então, o produto misto destes vetores nesta mesma ordem é:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\large[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\large] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\2 & 5 & 0\\-2 & 0 & 2\end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 2\\2 & 5\\-2 & 0\end{matrix} \end{gathered}$

                      $\large\displaystyle\begin{gathered}= 1\cdot5\cdot2 + 2\cdot0\cdot(-2) + 3\cdot2\cdot0 - 2\cdot2\cdot2 - 1\cdot0\cdot0 - 3\cdot5\cdot(-2) \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}= 10 + 0 + 0 - 8 - 0 + 30 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}= 32 \end{gathered}$

✅ Portanto, o produto misto é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\large[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\large] = 32 \end{gathered}$

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