Question

dados tg a =2 calcule sen a e cos a, sabendo que a é um angulo agudo

Answer 1

Um angulo agudo eh um angulo menor que 90 graus, ou seja, esse angulo se encontra no primeiro quadrante onde seno e cosseno sao positivos. Agora iremos usar a relaçao trigonometrico entre seno, cosseno e tangente e a relaçao fundamental para resolver isso:

$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}\\ \\ \sin^2a+\cos^2a=1\\ \\ \cos^2a=1-\sin^2a \\ \\ \cos a=\pm\sqrt{1-\sin^2a}\ [tex]\\ \\ \sin a=\pm\sqrt{\frac{4}{5}}\ (pegamos\ apenas\ o \ resultado\ positivo)\\ \\ \boxed{\sin a=\sqrt\frac45=\frac{2\sqrt5}{5}}\\ \\ \cos a=\sqrt{1-\sin^2a}\\ \\ \boxed{\cos a=\sqrt{1-\frac45}=\sqrt{\frac15}=\frac{\sqrt5}{5}}$\\ \\ \cos a=\sqrt{1-\sin^2a}\\ \\ \tan a=\frac{\sin a}{\sqrt{1-\sin^2a}}\\ \\ \tan a=2\\ \\ 2=\frac{\sin a}{\sqrt{1-\sin^2a}}\\ \\2=\frac{\sin a}{\sqrt{1-\sin^2a}}\\ \\ 2\sqrt{1-\sin^2a}=\sin a\\ \\ 4(1-\sin^2a)=\sin^2a\\ \\ 4-4\sin^2a=\sin^2a\\ \\ -5\sin^2a=-4\\ \\ \sin^2a=\frac{4}{5}[/tex]